外文翻译---高斯消去法是稳定的反对角占优矩阵

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1、PDF外文：http:/ 中文1970字高斯消去法是 稳定的反对角占优矩阵   阿兰 .乔治  和  KHAKIM D. IKRAMOV  摘要 : 假设  B Mn (C) 是一个行对角占优矩阵 , 即 , ,n,1i,bb nij 1jijiii  当  0 1， i = 1, ,n, 且   = ni1max i ， 我们的分析表明 ,当高斯消去 法 被 应用 于1BA 时， 没有旋转是必要的 。此外， 增长因子 A不会超过 1 .同样的结果显示行对角优势的确会被列对角优势所取代 .   1. 引言

2、  我们开始了一个报价从 N海厄姆的论文 1 ： 当计算一 LU因式分解时，主要有三类矩阵 是已知的 没有 安全 轴的 ：矩阵对角占优的行或列， 厄米 正定矩阵，和完全非负矩阵。”作者 继续说道  “确定另一类矩阵非常可取的属性：复杂对称矩阵的实部和虚部都是正定的。”本文我们扩展  的矩阵具有此属性包括矩阵的逆矩阵对角占优的行或列， 由此 我 们 得出， 生长因子等矩阵的。读者会 在 3节 发现证明， 在 2节发现 初步证明所需材料 。   2.初步证实  令  A Mn(C), 一套复杂的  n n 矩阵 . 索引集 &n

3、bsp; n,1 ,我们的主要矩阵表示 A 位于行和列索引 以及 A( ) 并且与其互补的主矩阵为 A( 'a ).接下来最重要是引理  3。  引理  1.令  A Mn(C) 是一个非奇异矩阵 , 并且  B = 1-A . 令   是 n,1 的一个子集 .不等式如下：  (1)   )(d e t)(d e td e t / AAA  一个积极的标量    反之，如果类似的不等式：  (2)  )(d e t)(d e td e t /  

4、则通过矩阵  B证明 ， 不等式 (2)只不过是 不等式 (1)的另外 一种形式 . 这可以由以下关系得出 ：  AB det1det , AAB d et )(d et)(d et' , AAB de t )(de t)(de t ' , 最后两个等式是一般情况下的在 A和 B之间的特别案例 。 (参见  2, 章 1的 (33). 由此我们可以说  B Mn(C)是一个 (行 )对角线占优矩阵  (矩阵证明略  )如果：  (3)           &n

5、bsp;             ,n,1i,bb nij 1jijiii  在  0 1, i = 1, ,n.的情况 下，可以得到不等式：  (4)                                   = ni1max i  B将被称之为显性因素 。  引理  2. 令 B是一个 d.d.

6、矩阵 , 并且令 1-B = A = (aij ):然后，让  i = 1, ,n, (5) ，iiib)1(d e t BB I 那么  Bi 是 bii的余因子 , 然 后  (6) .aaiijji ， 之前的这两个引理都可以在不等式一书的 3,节 4, 6, 和  7.被发现  (6) 由此我们可以说，每一列的 逆矩阵 元素的最大，而模数是主对角线。  假设一个非奇异 的 n n的矩阵  A进行不旋转的高斯消去 ，当经过 k步的排除完成之后 , 我们会得到一个尚未处理的 n-k矩阵。  这个矩阵有个另外的称

7、呼 -源矩阵(经过 k步之后 ) 或者称之为 Schur补 . 在后一种情况下，它是指 A/A( )；当  (7)                 .,.,1 k  引理  3.它 认为  (8)                     ,'/ 1 BAA  当  B = 1A :  高斯消元法  这是一的众所周知的联系 (看 ,

8、 举个例子 4, Sec. 0.7.3). 令   nkjia kij ,.,1, 是 Schur补的这项。 )(/ AA ,  是指数集  (7). 不等式如下：  (9)                     ijjikijkjin aaA,)(,m axm ax( ）  A被称为生长因子。  d.d.矩阵的性质和高斯消去法是广为人知的。  我们将会在第三节陈 述以下我们需要的引理  引理  4.令

9、 B Mn(C) 是一个 d.d.矩阵且具有航优势因子 i  (见  (3). 然后我们可以得出 : (1) 高斯消去法在任何对角旋转规则下适用于 B。  (2) 对角占优矩阵具有积极的遗传属性。 换句话说，每个 Schur 补 B/B( )同样是一个 d.d.矩阵 .此外 ,对每一个 i 来说， 行优势因子 i . 是超越不了 B/B( )的。这个相应的因子 i  也是超越不了 B 的  (假设原始行指数 B 在行 B/B( )留下了 ”attached"). 3. 主要结果  现在我们开始证明：  定

10、理  1. 令  A Mn(C)是一个非奇异矩阵，比如说  B = 1-A 是一个具有行优势因子 (看  (4) 的 d.d.矩阵。然后我们可以得出：  (10)                           1n ）（ A  证明： 由引理  2可以得出，  a11 是在第一列最大的模数记录。于是可以得出，  a11可以作为最关键的第一步消除。设定 =1 ,我们可以从

11、(8)看到 A/A 与  d.d. 矩阵 B( )互逆 . 因此我们可以得出 ,在 A/A 中 ）（ 122a 和第一列最大的模数记录一致并且可以作为重要的第二步消去。重复上述步骤，我们可以得出以下结论  在 A中，没有有排列需要执行高斯消去法 .而且高斯消去法应用于 A时的旋转不完全和 A的部分旋转相同。  事实上 , 关系  (6)的真正意思是在所有的矩阵 A中 ，这项最大模数是 主对角线 . 这个结论在 Schur补 A/A 中同样成立。由 此可见，在 )n A（ 之下 我们不得不在对角项的排除过程中只检查这种行为。  由此我们假定：  )(,max tretsr aM  在 r = s = i； t = k的情况下实现。 我们 规定   ,.,1 k     ,i