（节选）数学外文翻译--最小化对称矩阵的最大特征值（译文）

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1、中文 2760 字 出处： Michael L. On Minimizing the Maximum Eigenvalue of a Symmetric MatrixJ. Siam Journal on Matrix Analysis & Applications, 1988, 9(2):256-268. 最小化对称矩阵的最大特征值 ON MINIMIZING THE MAXIMUM EIGENVALUE OF A SYMMETRIC MATRIX 摘要 ： 一个重要的优化问题 是使一个函数 (x)最小化，其中 (x)是一个关于 x 的对称矩阵的最大特征值（取绝对值）。如果这个矩阵函数是仿射的

2、，那么 (x)就是凸的。 然而， (x)是不可微的， 因为特征值是不可微在它们聚结点 。 本文提出的一个算法用来取得最小化的 (x)是具有二次速率的。 二阶导数都无须取得二次收敛的情况下， 这个解是唯一的。 该算法的一个重要特征是能够分割的多个特征值， 如果必要的话，以取得下降方向。 在这些方面，该算法 对第一类 Polak-Wardi-Doyle 方法显示出显著改进。 这种新方法与 Fletcher 对半定约束和 Friedland， Nocedal和 Overton逆特征值问题的近期工作有很多共同之处。并会给出一些数值例子。 关键字 ： 非光滑的优化，不可微的优化，凸规划，半定约束，最大奇

3、异值的最小化 1、简介 。 很多重要的优化问题涉及特征值的约束。举个例子， 结构工程，我们不妨以尽量减少一些结构受限于它的固有频率约束的成本。 一个相当常见的 产生于控制工程 的问题是 (1.1) min(x) 条件是 (1.2) (x) = max |i(A(x)|, A(x)是一个关于 x 的 仿射 函数的实对称矩阵，且 i(A(x),I = 1, ,n 是 A(x)的特征值。 既然 A(x)是一个仿射函数，那么它可以写作 A(x) = A0 + xk Ak 函数 (x)是凸的，因为一个矩阵的最大特征值关于矩阵的元素是一个凸函数。一个重要的特殊例子是 (1.3)Ak = ekekT 这里

4、ek 是单位矩阵的第 k 行， 所以 (1.4)A(x) = A0 + Diag(x) 需要注意的是，非对称矩阵的最大奇异值的最小化问题的 G(x)可以写作 (1.1)的形式，其中矩阵 0 G(x) G(x)T 0 的特征值 （或加或减）形成 G(x)的奇异值。（毫无疑问的，结果 可以 通过更直接地处理奇异值问题来获得。 ） 最小化 (x)的困难在于，这个方程是不可微的，因为特征值 是不可微在它们聚结点 。 此外，我们通常可以想到的解决方案是在一个不可微点，由于 (x)的最小化一般驱动多个特征值，以 得到 相同的最小值。 在这篇文章中，我们提出一个算法来解决 (1.1) 具有二次渐近收敛 。

5、此外， 二阶导数并不总是需要获得二次收敛。 为了让这篇文 章显得短小精悍，我们不会给出收敛的证明以及 我们会忽略一些算法的细节，但是主旨为非常的清晰。我们相信这是第一次有二次收敛算法，或任何实用的高精度算法，用来 描述 最小化 (x)问题。 该算法的一个重要特征是 ，从任何一点不是最优得到下降方向的能力，即使这要求分裂的特征值一开始是 相等 的 。 （ 退化情况 的 例外 。） 这 显然是 一个崭新的算法 。 在这些方面，这里给出的算法表示的一阶方法通过 Polak 和 Wardi（ 1982）和 Doyle（ 1982）中描述的相同的问题有显著改善。本文受到两个工作： Fletcher（ 1

6、985）和 Friedland， Nocedal和 Overton（ 1987）的严重影响， 给予 充分肯 定 。与 Doyle 个人通信也非常有帮助。另外一个重要的早期参考 Cullum， Donath和 Wolfe（ 1975）， 对相关问题给予一阶 的 方法。毫无疑问，这里给出的算法的一个变种可以导出为 那个问题的解。 最后， 我们不应忽视相关的结构工程文献（见 Olhoff和 Taylor（ 1983，第 1146 页 ）进行了有益的调查）。 2.与 Fletche 和 Friedland,Nocedal,和 Overton 的工作的联系 。 问题 (1.1)可以重写为一个 不可微约束优化问题 (2.1)min (2.2)s.t. i(A(x) , i = 1, ,n 或者等价的 (2.3)min (2.4) I A(x) 0, (2.5) I +A(x) 0, 在 (2.4),(2.5)中