1、PDF外文：http:/ 中文1970字高斯消去法是 稳定的反对角占优矩阵 阿兰 .乔治 和 KHAKIM D. IKRAMOV 摘要 : 假设 B Mn (C) 是一个行对角占优矩阵 , 即 , ,n,1i,bb nij 1jijiii 当 0 1， i = 1, ,n, 且 = ni1max i ， 我们的分析表明 ,当高斯消去 法 被 应用 于1BA 时， 没有旋转是必要的 。此外， 增长因子 A不会超过 1 .同样的结果显示行对角优势的确会被列对角优势所取代 . 1. 引言
2、 我们开始了一个报价从 N海厄姆的论文 1 ： 当计算一 LU因式分解时，主要有三类矩阵 是已知的 没有 安全 轴的 ：矩阵对角占优的行或列， 厄米 正定矩阵，和完全非负矩阵。”作者 继续说道 “确定另一类矩阵非常可取的属性：复杂对称矩阵的实部和虚部都是正定的。”本文我们扩展 的矩阵具有此属性包括矩阵的逆矩阵对角占优的行或列， 由此 我 们 得出， 生长因子等矩阵的。读者会 在 3节 发现证明， 在 2节发现 初步证明所需材料 。 2.初步证实 令 A Mn(C), 一套复杂的 n n 矩阵 . 索引集 &n
3、bsp; n,1 ,我们的主要矩阵表示 A 位于行和列索引 以及 A( ) 并且与其互补的主矩阵为 A( 'a ).接下来最重要是引理 3。 引理 1.令 A Mn(C) 是一个非奇异矩阵 , 并且 B = 1-A . 令 是 n,1 的一个子集 .不等式如下： (1) )(d e t)(d e td e t / AAA 一个积极的标量 反之，如果类似的不等式： (2) )(d e t)(d e td e t /
4、则通过矩阵 B证明 ， 不等式 (2)只不过是 不等式 (1)的另外 一种形式 . 这可以由以下关系得出 ： AB det1det , AAB d et )(d et)(d et' , AAB de t )(de t)(de t ' , 最后两个等式是一般情况下的在 A和 B之间的特别案例 。 (参见 2, 章 1的 (33). 由此我们可以说 B Mn(C)是一个 (行 )对角线占优矩阵 (矩阵证明略 )如果： (3) &n
5、bsp; ,n,1i,bb nij 1jijiii 在 0 1, i = 1, ,n.的情况 下，可以得到不等式： (4) = ni1max i B将被称之为显性因素 。 引理 2. 令 B是一个 d.d.
6、矩阵 , 并且令 1-B = A = (aij ):然后，让 i = 1, ,n, (5) ，iiib)1(d e t BB I 那么 Bi 是 bii的余因子 , 然 后 (6) .aaiijji ， 之前的这两个引理都可以在不等式一书的 3,节 4, 6, 和 7.被发现 (6) 由此我们可以说，每一列的 逆矩阵 元素的最大，而模数是主对角线。 假设一个非奇异 的 n n的矩阵 A进行不旋转的高斯消去 ，当经过 k步的排除完成之后 , 我们会得到一个尚未处理的 n-k矩阵。 这个矩阵有个另外的称
7、呼 -源矩阵(经过 k步之后 ) 或者称之为 Schur补 . 在后一种情况下，它是指 A/A( )；当 (7) .,.,1 k 引理 3.它 认为 (8) ,'/ 1 BAA 当 B = 1A : 高斯消元法 这是一的众所周知的联系 (看 ,
8、 举个例子 4, Sec. 0.7.3). 令 nkjia kij ,.,1, 是 Schur补的这项。 )(/ AA , 是指数集 (7). 不等式如下： (9) ijjikijkjin aaA,)(,m axm ax( ） A被称为生长因子。 d.d.矩阵的性质和高斯消去法是广为人知的。 我们将会在第三节陈 述以下我们需要的引理 引理 4.令
9、 B Mn(C) 是一个 d.d.矩阵且具有航优势因子 i (见 (3). 然后我们可以得出 : (1) 高斯消去法在任何对角旋转规则下适用于 B。 (2) 对角占优矩阵具有积极的遗传属性。 换句话说，每个 Schur 补 B/B( )同样是一个 d.d.矩阵 .此外 ,对每一个 i 来说， 行优势因子 i . 是超越不了 B/B( )的。这个相应的因子 i 也是超越不了 B 的 (假设原始行指数 B 在行 B/B( )留下了 ”attached"). 3. 主要结果 现在我们开始证明： 定
10、理 1. 令 A Mn(C)是一个非奇异矩阵，比如说 B = 1-A 是一个具有行优势因子 (看 (4) 的 d.d.矩阵。然后我们可以得出： (10) 1n ）（ A 证明： 由引理 2可以得出， a11 是在第一列最大的模数记录。于是可以得出， a11可以作为最关键的第一步消除。设定 =1 ,我们可以从
11、(8)看到 A/A 与 d.d. 矩阵 B( )互逆 . 因此我们可以得出 ,在 A/A 中 ）（ 122a 和第一列最大的模数记录一致并且可以作为重要的第二步消去。重复上述步骤，我们可以得出以下结论 在 A中，没有有排列需要执行高斯消去法 .而且高斯消去法应用于 A时的旋转不完全和 A的部分旋转相同。 事实上 , 关系 (6)的真正意思是在所有的矩阵 A中 ，这项最大模数是 主对角线 . 这个结论在 Schur补 A/A 中同样成立。由 此可见，在 )n A（ 之下 我们不得不在对角项的排除过程中只检查这种行为。 由此我们假定： )(,max tretsr aM 在 r = s = i； t = k的情况下实现。 我们 规定 ,.,1 k ,i
