微分方程数值解法课程设计---抛物型方程问题的差分格式

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1、 目 录 一、问题的描述 1 二、算法设计及流程图 . 1 2.1 算法设计 1 2.2 流程图 . 2 三、算法的理论依据及其推导 . 2 3.1 截断误差分析 . 2 3.2 稳定性分析 . 3 四、数值结果及分析 . 3 五、总结 5 六、附件（源代码） . 6 1 抛物型方程问题的差分格式抛物型方程问题的差分格式 一、问题的描述 有限差分方法就是一种数值解法，它的基本思想是先把问题的定义域进 行网格剖分，然后在网格点上，按适当的数值微分公式把定解问题中的微商 换成差商，从而把原问题离散化为差分格式，进而求出数值解。此外，还要 研究差分格式的解的存在性和唯一性、解的求法、解法的数值稳定性

2、、差分 格式的解与原定解问题的真解的误差估计、差分格式的解当网格大小趋于零 时是否趋于真解(即收敛性)，等等。 偏微分方程边值问题的差分法是物理上的定常问题， 其定解问题为各种边值 问题， 即要求解在某个区域 内满足微分方程，在边界上满足给定的边界条件。 常系数扩散方程的差分解法可归结为选取合理的差分网格，建立差分格式求解。 常系数扩散问题的有限差分格式求常系数扩散问题 为正常数其中 a,0, 2 2 tRx x u a t u （1.1） 的近似解，其初始条件为 Rxxgxu),()0,( 二、算法设计算法设计及流程图及流程图 2.1 2.1 算法设计算法设计 运用加权隐式格式求解常系数扩散

3、问题（1.1） 0 2 )1( 2 2 1 1 11 1 2 11 1 h uuu h uuu a uu n j n j n j n j n j n j n j n j ， （1.6） 10 , h其 中分 为 时 间 步 长 和 空 间 步 长 。 步骤 1 输入初始值，确定加权隐式格式的参数； 步骤 2 定义向量 A，把初边值条件离散，得到 0 j u，j=0,1,J 的值存入向量 A 步骤 3 利用加权隐式差分格式由第 n 层计算第 n+1 层，建立相应线性方程组， 求解并且存入向量 A; 步骤 4 计算到 t=1，输出 u 2 2.2 2.2 流程图流程图 三、算法的理论依据及其推导

4、3.3.1 1 截断误差分析截断误差分析 常系数扩散问题（1.1）的加权隐式格式如下： 0 2 )1( 2 2 1 1 11 1 2 11 1 h uuu h uuu a uu n j n j n j n j n j n j n j n j ， （1.6） 其中10，, h其 中分 为 时 间 步 长 和 空 间 步 长 。 把（1.6）改写为便于计算的形式 11 (12) nnn jjj auauau = 111 11 (1)12(1)(1) nnn jjj auauau （1.7） 其中 2 h 。 下面来求出差分格式（1.6）的截断误差，设 u(x,t)是方程（1.1）的充分光滑的解， 开始 输入初始值 求h=(maxx-minx)/(