数学外文翻译--范德蒙行列式的相关应用

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1、分类号： _ 学校代码： 11059 学 号： 0907021021 毕 业 论 文 外 文 翻 译 材 料 学生姓名： 陈仁俊 学 号： 0907021021 专业班级： 数学一班 指导教师： 王敏秋 正文： 外文资料译文 附 件： 外文 资料 原文 指导教师评语： 签名： 年 月 日 范德蒙行列式的相关应用 （ 一）范德蒙行列式在行列式计算中的应用 范德蒙行列式的标准规范形式是： 122 2 21211 1 1121 1 1()nn n i jn i jn n nnx x xD x x x x xx x x 根据范德蒙行列式的特点，将所给行列 式包括一些非范德蒙行列式利用各种方法将其化为范

2、德蒙行列式，然后利用范德蒙行列式的结果，把它计算出来。常见的化法有以下几种： 1.所给行列式各列（或各行）都是某元素的不同次幂，但其幂次数排列与范德蒙行列式不完全相同，需利用行列式的性质（如提取公因式，调换各行（或各列）的次序，拆项等）将行列式化为范德蒙行列式。 例 1 计算 2221 1 12 2 23 3 3nn nnDn n n 解 nD 中各行元素都分别是一个数自左至右按递升顺序排列，但不是从 0 变到 nr 。而是由 1 递升至 n 。如提取各行的公因数，则方幂次数便从 0 变到 1n . 2121211 1 1 11 2 2 2! ! ( 2 1) ( 3 1) ( 1) ( 3

3、2 ) ( 2 ) ( 1)1 3 3 31nnnnD n n n n n nn n n !( 1 ) !( 2 ) ! 2 !1 !n n n 例 2 计算 1 1 11( 1) ( )( 1) ( )11 1 1nnn n nna a a na a a nDa a a n 解 本项中行列式的排列规律与范德蒙行列式的排列规律正好相反，为使1nD 中各 列元素的方幂次数自上而下递升排列，将第 1n 列依次与上行交换直至第 1行，第 n 行依次与上行交换直至第 2行 第 2行依次与上行交换直至第 n 行，于是共经过 ( 1 )( 1 ) ( 2 ) 2 1 2nnn n n 次行的交换得到 1n

4、 阶范德蒙行列式： ( 1 )211 1 1( 1 )211 1 11( 1)( 1) ( )( 1) ( )( 1) ( 1 ) ( 2 ) ( ) 2 ( 1) ( ( 1) ) !nnnn n nnnnn nka a a nDa a a na a a na a a a a n a a a a n a n k 若 nD 的第 i 行（列）由两个分行（列）所组成，其中任意相邻两行（列）均含相同分行（列）；且 nD 中含有由 n 个分行（列）组成的范德蒙行列式，那么将nD 的第 i 行（列）乘以 -1 加到第 1i 行（列），消除一些分行（列）即可化成范德蒙行列式： 例 3 计算 1 2 3

5、42 2 2 21 1 2 2 3 3 4 42 3 2 3 2 3 2 31 1 2 2 3 3 4 41 1 1 11 s i n 1 s i n 1 s i n 1 s i ns i n s i n s i n s i n s i n s i n s i n s i ns i n s i n s i n s i n s i n s i n s i n s i nD 解 将 D 的第一行乘以 -1 加到第二行得： 1 2 3 42 2 2 21 1 2 2 3 3 4 42 3 2 3 2 3 2 31 1 2 2 3 3 4 41 1 1 1s i n s i n s i n s i ns i n s i n s i n s i n s i n s i n s i n s i ns i n s i n s i n s i n s i n s i n s i n s i n