数值计算课程设计---非线性方程（组）的解法

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1、 数值计算方法课程设计数值计算方法课程设计 设计题目：设计题目： 非线性方程（组）的解法非线性方程（组）的解法 设计时间：设计时间： 2010-6-11 至至 2010-6-18 姓名姓名 学号学号 成绩成绩 指导教师：指导教师： 题目题目 非线性方程（组）的数值解法非线性方程（组）的数值解法 -求解非线性方程组的几种方法求解非线性方程组的几种方法 问题的提出问题的提出 分析比较Newton法、Newton法的变形格式。然后分别用Newton 法、简化Newton 法、选取 不同的初值求解下面方程组，对于相同的精度要求，比较这两种方法的运行时间。 背景分析背景分析 牛顿法是一种重要迭代法， 他

2、是逐步线性化方法的典型代表， 牛顿法的特点是每一步都需要 计算 () () k fx以及 () () k fx，其计算量比较大，为了减少计算量，提出简化牛顿法。 算法思想算法思想 1、牛顿法 设有非线性方程组 ()0Fx 其中 12 ()(),(),.,() T k Fxfxfxfx 由( ) i fx偏导数作成的矩阵记为()Jx，称为()Fx的雅克比矩阵 1 1 ()fx x 1 2 ()fx x . 1( ) n fx x ()Jx 2 1 ()fx x 2 2 ()fx x . 2( ) n fx x . . . 1 () n fx x 2 () n fx x . () n n fx x

3、 设 * x为()0Fx的解，且设 ()()()() 12 (,.,) kkkk n xxxx为 * x的近似解。现利用多元函数 ( ) i fx在 ()k x点的泰勒公式有 ()()2 ()()()()() 11 ,1 1 ()()()1 ()()().()()()()(1, 2,.,) 2 kk n kkkkk iiii iinnjjlli j l njl fxfxfC fxfxxxxxxxxxPxR in xxxx 其中， i C在 ()k x与x的所连的线段内。 如果用上式中的线性函数( ) i Px近似替代( ) i fx，并将线性方程组 ()() ()()() 11 1 ()()

4、()()().()0 kk kkk ii iinn n fxfx Pxfxxxxx xx (1) 的解作为 * x的第1k 次近似解记为 (1)k x 将（1）式写成矩阵形式，即 ()()() ()()()0 kkk FxJxxx () () k Jx为非奇异矩阵,则牛顿迭代公式： (0 ) 1 (1)()()() ()*() kkkk x xxJxFx (2 ) (0,1, 2)k 求解非线性方程组()0Fx牛顿方法为 (0 ) ()()() (1)()() ()() kkk kkk x JxxFx xxx 2、简化牛顿法 在牛顿法的基础上，为了减少计算量，将 () () k Jx均取为 (0 ) ()Jx，得如下简化牛顿公式： (0