数值分析课程设计---多项式插值的振荡现象

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1、数值分析课程设计数值分析课程设计 课程设计的目的和意义课程设计的目的和意义： 课程设计是数值分析的同步课程，是数值分析的上机实习课。 数值分析课程中构造了各种有效的算法和有效公式，同学们通过上机 作课程设计，学习揣摩这些算法的思想和构造，评价算法的优劣性。 通过上机，可以提高我们运用数学软件编程解决问题的能力，为今后从事 科学计算和软件开发打下良好的基础。 课程设计的题目课程设计的题目： 多项式插值的振荡现象 设计目的：设计目的： 通过对多项式插值现象的观察,了解多项式的次数与逼近效 的关系，提高同学们分析实验结果的能力。 问题提出问题提出： 考虑在一个固定区间上用插值逼近一个函数。显然，La

2、grange 插值中使用的 节点越多， 插值多项式的次数就越高。 我们自然关心插值多项式增加时， Ln(x) 是否也更加靠近被逼近的函数。龙格(Runge)给出的一个例子是极著名并富有 启发性的。设区间-1,1上的函数 2 1 () 125 fx x 区间-考虑设计 1,1的一个等距划分，节点为 2 1,0,1, 2, i i xin n 则拉个朗日插值多项式为 2 0 1 ()() 12 5 n ni i i Lxlx x 其中的 li(x),i=0,1,2,n是 n次 Lagrange 插值基函数。 设计要求设计要求： 1选择不断增大的分点数 n=2,3, *画出原函数 f(x)及插值多项

3、式函数 Ln(x)在-1,1上的图像； *给出每一次逼近的最大误差； *比较并分析实验结果。 2选择其它函数，例如定义在区间-5,5上的函数。 4 (),()arctan 1 x h xgxx x 重复上述实验看其结果如何。 3区间a,b上切比雪夫(Chebychev)点的定义为 (21) cos,1, 2,1 222(1) k babak xkn n 以 x1,x2,xn+1 为插值节点构造上述各函数的 Lagrange 插值多项式， 比较其 结果。 设计过程：设计过程： 已知函数 f(x)在 n+1 个点x0,x1,xn 处的函数值为 y0,y1,yn 。 求一 n 次多 项式函数 Pn(

4、x)，使其满足： Pn(xi)=yi,i=0,1,n. 解决此问题的拉格朗日插值多项式公式如下 n 0i iin y)x(L)x(P 其中 Li(x) 为 n 次多项式： )xx()xx)(xx()xx)(xx( )xx()xx)(xx()xx)(xx( )x(L ni1ii1ii1i0i n1i1i10 i （1）.在 MATLAB6.5 中输入函数 2 1 () 125 fx x 当取不同的分点数 n时，所得图象与原函数图象对比如下： n=2 时；最大误差为： MaxL(x)f(x)=0.6462 n=3 时，maxL(X)-f(X)=0.7070； n=6 时，maxL(X)-f(X)=0.6169； n=8 时，maxL(X)-f(X)=1.0452； n=10 时；最大误差为：maxL(X)-f(X)=1.9156