数值分析课程设计-- 松弛迭代法中松弛因子

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1、 数值分析 设计报告书 题题 目目 松弛迭代法中松弛因子 院院 系系 数理系 专专 业业 信息与计算科学 班班 级级 学学 号号 姓姓 名名 时时 间间 2013-12-102013-12-23 指导教师指导教师 题目题目： 选用 Jacobi 迭代法、Gauss-Seidel 迭代法和超松弛迭代法求解下面的方程 组（考虑n等于 150） 1 2 3 2 1 61 861 861 861 861 86 n n n x x x x x x = 10.5 22.5 22.5 22.5 22.5 21 考虑初值的变化和松弛因子的变化收敛效果的影响；对上述方程组还可 以采用哪些方法求解？选择其中一些方

2、法编程上机求解上述方程组，说明最适 合的是什么方法；将计算结果进行比较分析，谈谈你对这些方法的看法。 一、摘要一、摘要 本课程设计用 matlab 就线性方程组数值方法，Jacobi 迭代法， Gauss-Seidel 迭代法， 超松弛法对所设计的问题进行求解， 并编写程序在 Matlab 中实现，在文章中对各种迭代法进行了收敛性分析。接着用几种不同方法对线性 方程组进行求解及结果分析，最后对此次课程设计进行了总结。 关键词：线性方程组，迭代，Matlab，结果分析 二、二、设计目的设计目的 用熟悉的计算机语言编程上机求解线性方程组。 三、三、理论基础理论基础 对方程组 A xb 做等价变换

3、xG xg 如：令 AMN，则 11 ()AxbMNxbM xNxbxMNxMb 则，我们可以构造序列 (1 )() kk xG xg 若 () * k xx* *xG xgA xb 同时： (1)()() *(*) kkk xxGxGxG xx 1(0 ) (*) k Gxx 所以，序列收敛0 k G，与初值的选取无关与初值的选取无关 1122 (,) nn Ddiag aaa设 则转化为矩阵形式 (1)()1() () kkk xxDbAx (1)()1()1kkk xxDAxDb (1)1()1 () kk xDDA xDb (1) 令 21 12 000 00 0 nn a L aa

4、1 21 2 0 00 000 n n aa a U ADLU 或者 DALU 故迭代过程(1)化为 (1)1()1 () kk xDDA xDb (1)1()1 () kk xDLUxDb ADLU 11 (), J BDLUfDb 令于 是 DALU 1111 ()() , J BDLUDDAIDAfDb 或 者 ： (1)()kk J xB xf (2) (0,1, 2,)k 等价线性方程组为 J xB xf Axb 称(2)式为解线性方程组(1)的 Jacobi迭代法(J 法) J BJacobi为迭 代 法 的 迭 代 矩 阵 迭代矩阵 考虑迭代式(2) (1)()kk J xB xf (0 , 1 , 2 ,)k 即 (1 )1()1 () kk xDLUxDb (1)()()kkk D xLxU xb (,)L注 意 到的 形 式 下 三 角 不 含 对 角 线 将上式改为 (1 )(1 )()kkk D xL xU xb (3) (1)() () kk DL xUxb DL当可 逆 时 (1 )1()1 ()() kk xDLUxDLb 11 (