数值分析课程设计--用拉格朗日插值法和牛顿插值法求近似值

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1、数值分析课程设计数值分析课程设计 报报 告告 【摘要】 本文简介拉格朗日插值和牛顿插值。拉格朗日插值的算法及程序 和拉格朗日在实际生活中的运用。运用了拉格朗日插值的公式，以及它在 MATLAB 中的算法程序，并用具体例子说明。拉格朗日插值在很多方面都可以 运用， 具有很高的应用价值。 关于牛顿插值法， 本文首先给出差商的定义及性质， 由差商递推得到 Newton插值公式。在增加一个插值节点后，只需计算新增插值 节点带来的计算， 而不必重新计算整个插值公式。 然而并不是插值节点越多越好， 插值多项式随节点的增多而振动增多，反而不能更好的接近被插函数，这就是龙 格现象。 龙格现象从根本上否定了增多

2、节点一提高插值多项式的次数来达到更好 近似的可行性，从而产生了质的飞跃。 【关键词】 均差 ； 牛顿插值多项式 ； 龙格现象拉格朗日；插值；公 式；算法程序；应用；科学。 一、题目：用拉格朗日插值法和牛顿插值法求近似值 二、理论 Lagrange 插值法的理论： 1、基本概念 已知函数 y=f(x)在若干点 i x的函数值 i y= i xf（i=0,1, ,n）一个差 值 问 题 就 是 求 一 “ 简 单 ” 的 函 数p(x) ： p( i x)= i y,i=0,1, ,n, (1) 则 p(x)为 f(x)的插值函数，而 f(x)为被插值函数会插值原函数， 0 x， 1 x， 2 x

3、，., n x为插值节点，式（1）为插值条件，如果对固定点 x求 f( x)数值解， 我们称 x为一个插值节点，f( x)p( x)称为 x点的插值，当 xmin( 0 x， 1 x， 2 x，., n x)，max( 0 x， 1 x， 2 x，., n x)时，称为内插，否则称为外插式外推， 特别地，当 p(x)为不超过 n 次多项式时称为 n 阶 Lagrange 插值。 2、Lagrange 插值公式 （1）线性插值)1( 1 L 设已知0 x ， 1 x 及 0 y=f(0 x ) , 1 y=f( 1 x),)( 1 xL为不超过一次多项式且满足 )( 01 xL= 0 y,)(

4、11 xL= 1 y,几何上，)( 1 xL为过（ 0 x， 0 y） ， （ 1 x， 1 y）的直线，从而 得到 )( 1 xL= 0 y+ 01 01 xx yy （x-0 x ）. （2） 为了推广到高阶问题，我们将式（2）变成对称式 )( 1 xL= 0 l（x） 0 y+ 1 l(x) 1 y. 其中， 0 l（x）= 10 1 xx xx , 1 l(x)= 01 0 xx xx 。均为 1 次多项式且满足 0 l（x）=1 且 1 l(x)=0。或 0 l（x）=0 且 1 l(x)=1。 两关系式可统一写成)( ii xl= ji ji 0 1 。 （3） （2）n 阶 La

5、grange 插值)(xLn 设已知 0 x， 1 x， 2 x，., n x及 i y=f( i x)(i=0,1,.,n),)(xLn为不超过 n 次多 项式且满足 iin yxL)(（i=0,1,.n）. 易知)(xLn= 0 l（x） 0 y+)(xln n y. 其中，)(xli均为 n 次多项式且满足式（3） （i,j=0,1,.,n）,再由 j x（ji） 为 n 次多项式)(xli的 n 个根知)(xli=c n ii j j xx 0 .最后，由 1)()( 0 n ij j jiji xxcxlc= n ij j ji xx 0 )( 1 ,i=0,1,.,n. 总之，)(

6、xLn= i n i i yxl 0 )(，)(xli=. 0 n ij j ji j xx xx 式为 n 阶 Lagrange 插值公式， 其中，)(xli （i=0,1,.n）称为 n 阶 Lagrange 插值的基函数。 3，Lagrange 插值余项 设 0 x， 1 x， 2 x，., n xa,b,f(x)在a,b上有连续的 n+1 阶导数，)(xLn为 f(x)关于节点 0 x， 1 x， 2 x，., n x的 n 阶 Lagrange 插值多项式，则对任意 xa,b, ).( )!1( )( )()()( )1( x n f xLxfxR n nn 其中，位于 0 x， 1 x， 2 x，., n x及 x 之间 （依赖于 x） ，(x)= n j j xx 0 ).( 牛顿插值多项式的理论依据： 1