数学外文翻译---数学分析原理第四章连续性第一节函数的连续性

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1、 湖北大学本科毕业论文（设计）外文翻译 外文翻译 ： 数学分析原理第四章连续性 第一节函数的连续性 原文来源： “Principles of Mathematical Analysis.”from Walter Rudin 译文正文： 在定义 2.1 和 2.2 中引进了函数概念和一些与它有关的术语 .虽然我们（在后面各章里）主要感兴趣的是实函数和复函数（即值是实数或复数的函数），但是我们也要讨论向量值函数（ 即在 Rk中取值的函数 ） 和在任意度量空间中取值的函数 .我们在这个更一般的基础上将要讨论的定理，并不会因为我们限制在 （例如）实函数而显得更容易些，放弃不必要的假定和用适当普遍的措辞

2、来叙述和证明定理，反而会使得情景确实简洁了 . 我们的函数的定义域也是度量空间，遇有不同的要求，便加以适当的说明 . 函数的极限 4.1 定义 令 和 是度量空间，假设 XE ， 将映入内且是的极限点凡是我们写当 px 时 qxf )( ，或 qxfpx )(lim （） 的时候，就是存在一个点 Yq 具有以下的性质：对于每个 ，存在着 ，使得 ),( qxfd Y （） 对于满足 ),(0 pxd X （） 的一切点 Ex 成 立 记号 YX dd 和 分别表示和中的距离 如果和（或）换成实直线，复平面或某一欧式空间 kR ，那么距离 YX dd 和 自然该换成绝对值或相应的范数（见第段）

3、应当注意 Xp ，但是上面的定义中，并不一定要求是的点此外，即使 Ep ，也完全可能 )(lim)( xfpfpx 我们还可以将这个定义用序列的极限改述为： 4.2 定理 令，和是定义 4.1 说的那些，那么 湖北大学本科毕业论文（设计）外文翻译 qxfpx )(lim （） 当且仅当 qpfnn )(lim （） 对于中合于 ppn ， ppnn lim （） 的每个序列 np 成立 证 假定（ ）成立，取中满足（）的 np 给定了 ，那么就有 ，使得当 Ex 且 ),(0 pxd X 时， ),( qxfdY 同样又有使得当时， ),(0 pxd X 这样，对于，我们有 ),( qpfd

4、nY 这就证明了（）成立 反过来，假定（）不成立这时便有某一个 ，使得对于每个 ，都有点 Ex（ 依 赖 于 ）， 对 于 这 x 来说， ),( qxfd Y 但 ),(0 pxd X 取),3,2,1(,/1 nnn 我们就在中找到一个满足（），但使（）式不成立的序列 推论 如果在有极限，那么这极限是惟一的 这可以由定理 3.2（）及定理 4.2 推出来 4.3 定义 设有定义在上的两个复函数 f 和 g ，我们用 gf 表示一个函数，它给的每个点 x 配置的数是 )()( xgxf 我们用类似的方法定义两个函数的差 gf ，积 fg及商 gf/ ，约定商只定义在的那些使 .0)( 上的点

5、 xxg 如果 f 给的每个点 x 配置同一个数，那么 f 就叫做一个常数函数，或简单地叫做一个常数，并记作 cf 设 f 和 g 都是实函数，如果对于每个 Ex 来说 )()( xgxf ，那么有时为了简便，就记作 gf 类似地，如果 f 和 g 把映入 kR 内，便用 )()()(),()()( xgxfxgfxgxfxgf 来定义 gf 及 fg ；再若是 是实数，便定义 )()( xfxf 4.4 定理 如果 XE ，是度量空间 ，是的极限点， f 与 g 是上的复函数，而且 lim ( ) ,xpf x A lim ( )xpg x B 湖北大学本科毕业论文（设计）外文翻译 那么 （

6、） l i m ( ) ( ) ,xp x g x A B （） lim ( )( ) ,xp fg x AB （ ） l i m ( / ) ( ) / , 0 .xp f g x A B B 假定 证 依照定义 .，这些论断可以从序列的类似性质（定理 .）直接退出来 评注 如果 f 与 g 将映入 kR 内，那么（）仍然成立，而（）就要变为（ b ） （参看定理 .） 连续函数 . 定义 设与是度量空间， ,E X p E并且 f 将映入内，如果对于每一个 0, 总存在 0, 对 于 一 切 满 足 ( , )Xd x p 的点 xE 来 说 ，( ( ) , ( ) ) ,Yd f x

7、f p 就说 f 在 p 连续 如果 f 在的每一点都连续，就说 f 在上连续 应该注意，要使 f 在点 p 连续， f 必须在点 p 有定义 （这一点请与定义 .后面的说明对比一下） 如果 p 是的一个孤立点，那么由我们的定义推知，每一个 以为定义域的函数都在点 p 连续因为，不管取的哪个 0, 总可以选一个 0, 使得满足 ( , )Xd x p 的点xE 只有 xp ；于是 ( ( ) , ( ) ) 0 .Yd f x f p .定理 在定义 .里所假定的情况下，再假定 p 是的极限点 那么， f 在 p 点连续当且仅当 lim ( ) ( )xpf x f p 证 只要将定义 .和 .对比一下就清楚了 现在我们转到函数的复合下面定理的一种简述是：连续函数的连续函数是连续的 . 定理 设 , ,是度量空间， EX ， f 将 映入内， g 将 f 的值域 ()fE映入内，而 h 是由 ( ) ( ( )h x g f x ()xE 定义的到的映射如果f p E在点 连续 ，并且 g 在点 ()fp连续，那么 h 在点 p 连续 这个函数 h 叫做 f 和 g 的复合函数或者 f 和 g 合成记号 h g f 在本书中 经常用 证 设 0 已经给定因为 g 在 ()fp连续，便有 0 使得当 ( , ( )Yd y f p 和