高斯-赛德尔迭代法的算法及程序设计课程设计

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1、题题 目 ：目 ： 高斯高斯- -赛德尔赛德尔迭代法迭代法的算法及的算法及程序设计程序设计 摘要 本文通过理论与实例对线性方程组的解法、收敛性及误差分析进行了探讨. 在对线性方程组数值解法的讨论下用到了高斯-赛德尔迭代法，进一步研究和总 结了高斯-赛德尔迭代法的理论与应用，使我们在分析问题与编辑程序时能更好 的把握对高斯-赛德尔迭代法的应用。 关键词 Gauss-Seidel 迭代法；收敛性；误差分析；流程图；Mathematica 编 程 目录 第一章第一章 高斯高斯- -赛德尔赛德尔迭代法迭代法 . 1 1.1 高斯-赛德尔迭代法的提出 . 1 1.1.1 高斯-赛德尔迭代法的思想理论 .

2、 1 1.1.2 高斯-赛德尔迭代法的定义及表达形式 . 2 1.2 高斯-赛德尔迭代法的收敛性 . 1 1.3 高斯-赛德尔迭代法的误差分析 . 1 第二第二章章 高斯高斯- -赛德尔赛德尔迭代法迭代法的程序设计的程序设计. 1 2.1 高斯-赛德尔迭代法在上机中的应用 . 1 2.1.1 高斯-赛德尔迭代法的流程图 . 1 2.1.2 高斯-赛德尔迭代法的源程序 . 1 参考文献参考文献 错误错误! !未定义书签。未定义书签。 附录附录 错误错误! !未定义书签。未定义书签。 1 第一章第一章 高斯高斯- -赛德尔赛德尔迭代法迭代法 考虑线性方程组 Axb 其中A为非奇异矩阵，对于由工程技

3、术中产生的大型稀疏矩阵方程组（A的阶 数n很大但零元素很多）,利用迭代法求解线性方程组Axb是合适的.在计算机 内存和运算两方面，迭代法通常都可利用A中有大量零元素的特点. 本章将介绍迭代法中的高斯-赛德尔法的思想理论、收敛性及误差分析. 1.1 高斯高斯-赛德尔迭代法的提出赛德尔迭代法的提出 1.1.1 1.1.1 高斯高斯- -赛德尔迭代法的思想理论赛德尔迭代法的思想理论 在研究雅可比迭代法时，计算 1k i x 时，已得 (1 )(1 )(1 ) 121 , kkk i xxx （这些分别为 121 , i xxx 的第 k+1 次近似） ，Gauss-Seidel 迭代法认为在计算时启

4、用新值，从而产 生 1 (1)(1)() 11 1 () in kkk iiijjijj jji ii xba xa x a . 具体原理如下图所示 构造迭代 (1)() 0 0 kk xBxf x 产生向量序列 ( 0 )(1)()k xxx xBxf Axb 2 图 1.1 基本迭代原理 1.1.2 1.1.2 高斯高斯- -赛德尔迭代法的定义及表达形式赛德尔迭代法的定义及表达形式 定义定义 1.1 我们注意到在雅可比迭代法中并没有对新算出的分量 1 1 k x ， 1 2 k x ， 1 1 k i x 进行充分利用不妨设想，在迭代收敛的条件下，我们把 (1)()()() 1121133

5、11 11 (1)()()() 221123322 22 (1)()()() 1122,11 1 () 1 ( 1 ( kkkk nn kkkk nn kkkk nnn nnn nn xaxaxaxb a xaxaxaxb a xaxa xaxb a 式中第一个方程算出的 1 1 k x 立即投入到第二个方程中，代替 () 1 k x进行计算，当 1 2 k x 算 出后代替 () 2 k x马上投入到第三个方程中计算，依次进行下去，这样也许会得到更好的 收敛效果根据这种思路建立的一种新的迭代格式，我们称为高斯-赛德尔 （Gauss-Seidel）迭代公式， 高斯=赛德尔迭代法的分量形式： (1)()()() 112113311 11 (1)(1)()() 221123322 22 (1)(1)(1)(1) 1122,11 1 () 1 ( 1 ( kkkk nn kkkk nn kkkk nnn nnn nn xaxaxaxb a xaxaxaxb a xaxa xaxb a 高斯-赛德尔迭代法的矩阵形式： (1)() , (0,1, 2,) kk xBxfk 其中 1 ()BDLU ， 1 ()fDLb B称为高斯-赛德尔迭代矩阵，f称为高斯-赛德尔迭代常量 1.21.2 高斯高斯- -赛德尔迭代法的收敛性赛德尔迭代法的收敛性 根据上