1、 现代控制理论课程设计 题 目： 单倒置摆控制系统的状态空间设计 学 院： 专业班级： 学 号： 姓 名： 指导教师： 2 摘 要 倒置摆控制系统是一个复杂的、 不稳定的、 非线性系统， 对倒置摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题， 对单倒置摆，首先运用牛顿运动定律建立倒立摆系统的运动 方程，以小车的位移，速度，摆杆与 y 轴正方向的夹角及摆 角变化的速度作为四个状态变量，进而求出系统的状态空间 描述，建立数学模型。其次运用状态反馈极点配置算法，由 给定的控制要求求出状态反馈增益矩阵，将极点配置在控制 要求的位置，另外考虑到系统的某些状态，如：小车速度和 摆杆角速度不容易直接测量等，本
2、文设计了全维状态观测 器， 对状态变量进行了重构并给出了利用 Matlab 仿真结果及 分析。 关键词：倒置板；状态反馈；极点配置；状态观测器； 3 一、设计题目及原理图一、设计题目及原理图 为单倒置摆系统的原理图。 设摆的长度为、 质量为 m， 用铰链安装在质量为 M 的小车上。 小车有一台直流电动机拖动， 在水平方向对小车施加控制力 u,相对参考系产生位移 z。 若不 给小车施加控制力，则倒置摆会向左或向右倾倒，因此，它是一个不稳定系统。控制的目的 是，当倒置摆无论出现向左或向右倾倒时，通过控制直流电动机，使小车在水平方向运动， 将倒置摆保持在垂直位置上。 二、倒置摆的状态空间方程二、倒置
3、摆的状态空间方程 为简化问题，工程上可以忽略一些次要因素。在本例中，我们为了简化问题，方便研究系 统空间的设计问题，忽略了摆杆质量、执行电动机惯性以及摆轴、轮轴、轮与接触面之间的 摩擦及风力。设小车的瞬时位置为 z，倒置摆出现的偏角为，则摆心瞬时位置为 )sin(lz 。在控制力 u 的作用下，小车及摆均产生加速运动，根据牛顿第二定律，在水 平直线运动方向的惯性力应与控制力 u 平衡，则有 ulz dt d m dt zd M)sin( 2 2 2 2 即 umlmlzmMsincos)( 2 (1) 由于绕摆旋转运动的惯性力矩应与重力矩平衡，因而有 sincos)sin( 2 2 mgllz dt d m M Z u 图 1 单倒置摆系统的原理 m L 4 即 sincossincoscos 2 gllz （2） 式（1） 、式（2）两个方程都是非线性方程，需作线性化处理。由于控制的目的是保持倒 置摆直立，因此，在施加合适 u 的条件下，可以认为、均接近于零，此时sin， 1cos,且可以忽略 2 项，于是有 umlzmM )( （3） z + l=g （4） 连联立求解式（3） 、式（4） ，可得 u MM mg z 1 （5） u Ml g Ml mM1)( （6） 消去中间变量，可得输入量为 u、输出量为 z 的微分方
