1、 题 目 ： 积 分 上 限 函 数 性 质 及 其 应 用题 目 ： 积 分 上 限 函 数 性 质 及 其 应 用 目目 录录 引言 2 1 积分上限函数 2 2 上限积分函数的性质 3 3 积分上限函数的应用 7 3.1 积分上限函数在微分中值定理中的应用 7 3.2 积分上限函数在证明不等式中的应用 8 4 有关积分上限函数性质的例题 9 5 有关一元积分上限函数应用的题. 11 5.1 积分上限函数在求极限中的应用 . 11 5.2 积分上限函数在不等式中的应用 . 11 5.3 积分上限函数在微分中值定理中的应用 . 12 6 二元积分上限函数性质和应用. 12 6.1 二元积分上
2、限函数的性质 . 13 总结. 15 参考文献. 16 致谢. 17 - 1 - 摘要：摘要：积分上限函数是微积分学中一类具有特殊形式的函数，在证明原函数存在 定理和证明牛顿-莱布尼茨定理中占重要地位。本文首先对积分上限函数的初等 性质进行研究， 深入讨论了特性， 并用积分上限函数的性质来求特殊函数的倒数， 极限，其次讨论积分上限函数在证明不等式中的应用，证明积分中值定理中的应 用，最后讨论了二元积分上限函数的性质及其它的应用。 关键词：关键词：积分上限函数，性质，定积分，连续,微分中值定理，二元积分上限函 数。 - 2 - 引言 原函数存在定理： 设函数()fx与()Fx在区间 I 上都有定
3、义， 若()()Fxfx， XI 则称F为()fx在区间I上的一个原函数，函数()fx在区间I上的全体原函 称为()fx在I上的不定积分，()fx dx 。 为方便可写：()()fx dxFxc 于是又有 ()()()fx dxFxcfx 原函数存在定理是微积分学中基本定理。 牛顿莱布尼茨公式： 若函数()fx在,a b上连续， 且存在原函数()Fx， 即( )( )F xf x，,xa b， 则()fx在,a b上可积，且()( )() b a fx dxF bFa ，这称为牛顿莱布尼茨公式， ()() b b a a fx dxFx 而在积分学中，为证明原函数存在定理及牛顿莱布尼滋公式，引
4、进了积分 上限函数( ) x a ft dt 。本文讨论此函数的相关性质，比如导数存在性，连续性，有 界性，周期性等，除此之外本文讨论了一元积分上限函数在微分中值定理中的应 用，在证明不等式中的应用，求极限中的应用以及相关问题，更进一步的讨论了 二元积分上限函数的定义，性质和应用，而且有关它的问题。 1 积分上限函数 定义：定义：设函数()fx在区间,a b上可积， 则对于每一个取定,xa b， ()fx在,a x 上也可积 ，于是由()( ), x a Fxft dt xa b 定义了一个以积分上限x为自变量的函数， 这称为函数()fx的积分上限函数（简称上限 函数） ，也可以称为变限积分函数。 积分上限函数有明显的几何意义： 设,xa b有()0fx， 则积分上限函数()( ) x a Fxft dt 是区间,a x上的上的 x y 图（1） y=f(x) x ba o - 3 - 区边梯形的面积
