1、 1 多元函数条件极值的解法与应用多元函数条件极值的解法与应用 【摘要】【摘要】 多元函数条件极值是多元函数微分学的重要组成部分多元函数条件极值是多元函数微分学的重要组成部分，本文研究的是代入法、拉格朗日乘数法、本文研究的是代入法、拉格朗日乘数法、标准量代换法标准量代换法、 不等式法、二次方程判别式符号法、不等式法、二次方程判别式符号法、梯度法、梯度法、数形结合法数形结合法等方法在等方法在解解多元函数条件多元函数条件极值问题上的运用，以及探讨多元函极值问题上的运用，以及探讨多元函 数条件极值在证明不等式、物理学、生产销售数条件极值在证明不等式、物理学、生产销售等等问题上的应用问题上的应用. .
2、 【关键词】【关键词】 极值；条件极值；拉格朗日乘数法；极值；条件极值；拉格朗日乘数法；梯度法；梯度法；应用应用 1.引言 多元函数条件极值是多元函数微分学的重要组成部分， 它不仅在理论上有重要的应用， 而且在其它学 科及有关实际问题中有着广泛的应用，于是如何判定与求解多元函数条件极值就成为许多学者研究的问 题，虽然以前也有不少学者研究过，但多数还只是理论上的研究，实际利用方面的研究较少.如文1讨论 了方向导数法在求解多元函数条件极值上应用，文2讨论了柯西不等式在求解一些特殊的多元函数条件 极值问题时的应用.本文首先对多元函数条件极值的解题方法进行了归纳与总结，通过具体实例对各种解 法进行分析
3、类比， 从中可以看到不同的条件极值问题可以有不同的解题方法， 其中最常用的是拉格朗日乘 数法，但对有些问题若能用一些特殊解法可以更简单.面对不同的极值问题如何采用最佳的解决方法是快 速解题的关键.文章最后讨论了如何通过条件极值解决不等式证明、物理学、生产销售等实际应用问题. 2.简单介绍多元函数极值与条件极值的有关概念 2.1 函数的极值 定义 2.1.1 3 设n(2)n 元函数 12 (,) n zfxxx在点 000 12 (,) n xxx的某个邻域内有定义,如 果对该邻域内任一异于 000 12 (,) n xxx的点 12 (,) n xxx都有 000 1212 (,)(,) n
4、n fxxxfxxx(或 000 1212 (,)(,) nn fxxxfxxx) ， 则 称 函 数 在 点 000 12 (,) n xxx有 极 大 值 ( 或 极 小 值) 000 12 (,) n fxxx.极大值、极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点. 2.2 函数的条件极值 定义 2.2.1 3 函数 12 (,) n zfxxx在m个约束条件 12 (,)0 in xxx (1, 2,;)im mn 下的极值称为条件极值. 3. 多元函数普通极值存在的条件 定理 3.1（必要条件）若n(2)n 元函数 12 (,) n zfxxx在点 000 12 (,) n xxx存在偏导数，且 在该点取得极值，则有 000 12 (,)0 i xn fxxx (1, 2,)in 备注：使偏导数都为0的点称为驻点，但驻点不一定是极值点. 定理 3.2 3（充分条件） 设n (2)n 元函数 12 (,) n fxxx在 000 12 (,) n xxx附
