1、 1 本科本科毕业论文毕业论文 题 目 无穷级数求和的若干方法无穷级数求和的若干方法 学生姓名 专业名称 数学与应用数学数学与应用数学 2 无穷级数求和的若干方法无穷级数求和的若干方法 摘摘 要：要：本文介绍了十种无穷级数求和的方法，并通过举例说明这些方法的 应用. 关键词：关键词：无穷级数；级数收敛；级数发散；求和 无穷级数包括数项级数和函数项级数.它是表示函数性质的一个重要工具， 也是对函数进行数值计算的一个重要手段.我们较常见到的无穷级数求和多为数 项级数和幂级数的求和，无穷级数求和问题是无穷级数中的难点， 因此这里给出 的十种方法主要是针对上述两种级数，并通过例题讲述这些求和方法的应用
2、. 1 定义法定义法1 这是利用无穷级数和的定义来求级数和的一种方法，这种方法用于级数前n 项部分和数列比较好求的级数，在此我又把其分为以下三类. (1) 直接法：适用于 1 k k u 为等差或等比级数或通过简单变换易化为这两种 级数. 例例 1 求级数 1 1 21 n n nq 的和， 1q . 解解 21 13521 n n Sqqnq (1) n S中各项的系数 1、3、5、是公差为 2 的等差数列，(1)的两边同乘以q得： 23 3521 n n qSqqqnq (2) (1)(2)得： 21 1122221 nn n qSqqqnq 21 1221 nn qqqnq 1 21 1
3、21 1 n n qq nq q 3 1 2 21 1 21 11 1 n n n qq q Sn qq q 因为1q ，所以 1 1 21 n n nq 22 121 lim 1 11 n n qq S q qq . (2) 拆项法： 100 11 limlim nnnnn nn nn abbbbbb . 例例 2 求级数 1 1 11nnnnn 的和. 解解 111 1 11 n u nn nnnn 1111111 1 223341 n S nn 1 1 1n , 即 1 1 11nnnnn lim1 n n S . (3) 递推法：是利用问题本身所具有的递推关系来求解问题的一种方法. 例
4、例 3 求级数 2 1 1 arctan 2 n n 的和. 解解 2 11 112 28 arctanarctanarctanarctan 1 1 283 1 2 8 S 3 11121 arctanarctanarctanarctanarctan 2818318 S 21 3 318 arctanarctan 2 1 4 1 3 18 由数学归纳法可证： arctan 1 n n S n limlim arctanarctan 1 14 n nn n S n , 故 4 2 1 1 arctan 2 n n 4 . 2 阿贝尔法阿贝尔法2（即构造幂级数法）（即构造幂级数法） 若级数 0 n n a 收敛，则 0 n n a 1 0 lim n n x n a x .由 0 n n a 构造一个幂级数 0 n n n a x 是 很简单的，而幂级数的和函数可通过逐项微分或积分得到，故易得 0 n n a 的和. 例例 4 级数 1 21 2 n n n 的和. 解解 令 22 1 21 2 n n n n fxx ,2x . 之所以这样构造幂级数,是为了消去系数中的因子21n .逐项积分 2221 0 11 211 22 xx nn nn o nn n fx dxxdxx 2 1 1 2 n n x x 2 22 1 2 2 1 2 x x xxx , 即 0 x fx dx
