1、 毕业论文 题题 目目 微 分 中 值 定 理 及 其 应 用微 分 中 值 定 理 及 其 应 用 学学 院院 数 学 与 统 计 学 院数 学 与 统 计 学 院 专专 业业 数 学 与 应 用 数 学数 学 与 应 用 数 学 姓姓 名名 班班 级级 学学 号号 研 究 类 型研 究 类 型 应 用 研 究应 用 研 究 指 导 教 师指 导 教 师 提 交 日 期提 交 日 期 2013 年年5 月月18 日日 微分中值定理及其应用微分中值定理及其应用 摘 要 本文探讨了微分中值定理之间内在的联系、几何意义上的联系。通过经典实例， 系统地给出了微分中值定理在证明不等式、求极限、证明某些
2、不等式、讨论方程根的存 在性、积分估值、级数收敛性等方面的广泛应用，有利于后续工作者的学习与参考 1 。 关键词 中值定理；联系；应用 Differential mean value theorem and its application Abstract This paper discusses the relationship between the differential mean value theorem, the geometric meaning of intrinsic relation on. The classic example, systematically pres
3、ents the differential mean value theorem in proving inequality, limit, prove some inequalities, discuss the existing widely used, integral estimation, series convergence equation root, learning and reference for subsequent workers. Key words Mean value theorem；connection；apply. 目目 录录 0.引言 . 1 1.预备知识
4、 . 2 2.微分中值定理的内在联系 . 3 2.1 三个中值定理之间的联系 . 3 2.2 几何意义上的相互联系 . 4 3.微分中值定理的应用 . 4 3.1 利用几何意义解题 6 3.2 证明不等式和求极限 . 7 3.3 证明某些等式问题 . 8 3.4 讨论方程根的问题 10 3.5 积分估值 11 3.6 级数收敛性 12 4.结语 13 参考文献 . 14 . 数学与统计学院 2013 届毕业论文 1 微分中值定理及其应用 0.引言 微分中值定理是微分学的基本定理,在数学分析中占有重要地位,是研究函数在某 个区间的整体性质的有力工具.它包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理
5、,微 分中值定理公式架起了沟通函数与导数之间的桥梁,函数的许多重要性质如单调性、极 值点、凹凸性等均可由函数增量与自变量增量间的关系来表述 4 .由于函数在一点的导 数是局部性质,只反映函数在这点近旁的性质,而实际研究中又常常要用函数全局性质, 于是要从导数给出的局部性质推出函数在整个定义域上的性质,这就要利用微分中值定 理来达到这个目的. 1.预备知识 2 通常所说的微分中值定理包括三个定理:罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理。 罗尔定理:如果函数)(xf满足以下条件：在区间,ba上连续；在),(ba内可导； )()(bfaf；则至少存在一个),(ba，使得.0)( f 拉格朗日定理:若函数)
6、(xf在区间,ba满足以下条件： 在,ba上连续;在),(ba内 可导;则在),(ba中至少存在一个),(ba，使得 ab afbf f )()( )( 成立. 柯西定理:设函数)(),(xgxf满足以下条件：在闭区间,ba上连续；在区间),(ba内 可导；)( xf与)( xg在),(ba内不同时为零，且)()(bgag，则存在),(ba，使 得 )()( )()( )( )( agbg afbf g f . 本文将讨论微分中值定理的内在联系,并阐述它的若干应用,如利用微分中值定理 的几何意义解题,讨论导函数零点的存在性、研究函数性态、证明不等式和求极限等. 2.微分中值定理的内在联系 我们知道,罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagr
