1、 1 目录目录 1 1 引言引言 2 2 2.2.方程的发展历程及其思想价值方程的发展历程及其思想价值 3 3 2.1 方程发展简史 3 2.2 方程思想中的教育价值 . 4 2.3 方程思想与中学数学的密切关系 . 6 3.3.方程思想的运用方程思想的运用 7 7 3.1 运用方程思想解代数题 7 3.2 运用方程思想解几何题 . 8 3.2.1 用方程思想解常见中考几何题. 8 3.2.2 运用方程思想解答高考题中曲线方程问题 10 3.3 运用方程思想解函数题 16 3.3.1 方程思想在高考题中的应用 . 16 3.3.2 方程思想在三角函数中的运用 18 3.4 运用函数方程思想解函
2、数题 18 3.4.1 函数方程的几种解法 . 18 3.4.2 几个重要的二元函数方程 . 19 3.5 运用方程思想解决最值问题 21 3.6 微分线性方程思想求解矩阵的特征值和特征向量 . 23 4.4.结束语结束语 2323 致谢辞致谢辞 2424 参考文献参考文献 2424 2 方程思想探究及其解题妙用方程思想探究及其解题妙用 摘要：本文首先介绍方程的历史发展及其思想价值，然后研究方程思想的运用，运用包括： 方程思想在代数、几何（中考、高考） 、函数（一般函数、三角函数、函数方程） 、最值问题、 特征值特征向量方面的解题应用， 揭示了方程思想在中学甚至大学数学解题中的重要地位及 其运
3、用. 关键词：方程思想 ；解题；中考题；高考题 1 引言引言 长期以来, 传统的数学教育只注重数学知识的传授, 忽视了知识发生过程 中数学思想方法的教学, 这有悖于数学学习客观规律.数学思想方法比形式化的 数学知识更具有普遍性,在学生未来工作和生活中有更加广泛的应用.正如日本 数学教育家米山国藏在从事多年的数学教育之后所说的一句话: “学生们在中学 所学到的数学知识在进入社会之后几乎没什么机会应用, 因而这种作为知识的 数学通常在出校门之后一两年就忘了, 然而不管他们从事什么业务工作, 那种 铭刻于脑中的数学精神和数学思想方法却长期地在他们工作和生活中发挥着作 用.” 方程思想，顾名思义，也就
4、是具有方程的思想，要了解方程思想，首先要知 道什么是方程.目前中学数学教科书中通用的方程定义是：含有未知数的等式. 但是，形如 x sin 2 1 cos 2 x ， 12 2 2 1 x x x 之类的等式难以界定. 给出 一个可以取代的定义：方程是为了求未知数，在未知数和已知数之间建立的一种 等式关系.好处在于： 它揭示了方程这一数学思想方法的目标：为了求未知数； 陈述了“已知数”的存在，解方程需要充分利用已知数和未知数之间的 关系； 方程的本质是“关系” ，而且是一个等式关系. 在高等数学中方程的定义： 形如 xxxxxxxx nn gf., 321321 的 等式叫做方程，其中 xxx
5、x n f, 321 ， xxxx n g, 321 是在它们定义域的 3 交集内研究的两个解析式，且至少有一个不是常函数. 陈重穆教授指出，方程的逻辑定义不必深究，到时关于未知数的思想，需要 特别关注，即帮助学生树立方程的思想.方程和方程思想是有区别的，方程属于 知识体系，方程思想属于思维体系.方程思想是对方程知识的全面升华，是充满 活力的方程知识的体现.那究竟什么是方程思想呢？ 在标准中关于方程思想阐述了这样一个观点： （1）方程是刻画现实世界 的有效模型； （2）方程没有一般解法； （3）特殊方程用特殊解法.张奠宙显示曾 经指出方程思想在于“方程思想是一座桥梁，一座联系已知和未知的桥梁.
6、”总 的来说对问题中数量关系的分析入手，应用数学语言将数量关系转化为数学模 型，使问题获解的思想方法，称为方程思想. 2.2.方程的发展历程及其思想价值方程的发展历程及其思想价值 2.12.1 方程发展简史方程发展简史 任何事物的发展都有一个过程,人类对方程的研究也经历了漫长的岁月. 公元前 2000 年-公元前 1700 年,古埃及纸草上的方程(如兰德纸草 书 、 柏林纸草书等)中就已经用“试位法”精确地得到一元一次方程的解, 但对于二次以上的方程,这种方法只能给出近似解. 公元前 2000 年左右,古巴比伦人就已经掌握了解一些一元二次方程的方法 希腊数学家丢番图算术中，讨论了一次方程、二次方程和个别三次方程，还 讨论了大量的不定方程.印度数学家阿耶波多在阿耶波多历数书中给出了二 次方程的求解方法.婆罗摩笈多在公元 628 年完成的婆罗摩笈多修正体系一 书中， 也给出了一般二次方程的求根公式. 花拉子米的 代数学 一开头就指出： 下列的问题，都是由根
