1、 1 1 引言引言 数字信号处理（digital signal processing，DSP）是利用计算机或专用处理设 备，用数值计算的方法对信号进行采集，交换，综合，估值与识别等加工处理， 借以达到提取信息和便于应用的目的。数字信号处理系统具有灵活，精确，抗干 扰强，设备尺寸小，造价低，速度快等突出优点1 ，2，这些都是模拟信号处理系 统无法比拟的。 数字信号处理的起源可追溯到17世纪，当时已提出了有限差分，数值积分和 数值插值得方法。自20世纪60年代以来，随着计算机和信息学科的飞速发展，数 字信号处理技术应运而生并迅速发展，现已形成一门独立的学科体系3。数字信 号处理就是研究用数字的方法
2、， 正确快速地处理信号， 提取各类信息的一门科学。 在国际上，一般把1965年快速傅里叶变换（FFT ,Fast Fourier Transform）的问世， 作为数字信号信号处理这一新兴学科的开端3 ，4。目前，伴随着通信技术、电子 技术计算机的飞速发展，数字信号处理的理论也在不断地丰富的丰富和完善，各 种新算法、新理论正在不断地推出。在这近四十多年的发展中，数字信号处理自 身已基本形成一套较完整的理论体系4。 傅立叶变换在数字信号处理中扮演着重要的角色4。 在数字信号处理中,最重 要也是最基本的表达信号的两个变量是时间和频率。通过傅立叶变换或反变换, 可以把时间域信号转到频率域或把频率域信
3、号转到时间域,但又由于我们所要测 量的信号大都是连续周期信号，不能直接在计算机上计算它的傅里叶变换，而 DFT及其快速算FFT是一种时域和频域都离散化的变换，能在计算机上实现信号 的频谱分析及其他方面的处理， 因此DFT在数字信号处理和数字图像处理中得到 了广泛的应用，它建立了离散时域与离散频域之间的关系5。如果信号或图像处 理直接在时域或空域上处理，计算就会随着离散采样点数的增加而激剧增加。使 得计算机计算量大，费时，难以达到实时的要求6。因此，一般采用DFT方法， 将输入的数字信号首先进行DFT变换， 把时域中的卷积和相关运算简化为在频域 上的相成处理，然后进行DFT反变换，恢复为时域信号
4、。这样大大减少计算量， 提高处理速度。最重要的是DFT有多种快速算法，统称为快速傅立叶变换,从而 使信号的实时处理和设备的简化得以实现。所以说，DFT不仅在理论上有重要意 2 义，而且在各种信号的处理中也起核心作用。 离散傅立叶变换（DFT）是复数域的运算，尽管借助于 FFT 可以提高运算 速度，但在实际应用，特别是实时处理中带来了不便。由于实偶函数的傅立叶变 换只含有实的余弦项，因此构造了一种实域的变换-离散余弦变换(DCT)。 离散余弦变换（DCT）是 N Ahmed 等人在 1974 年提出的正交变换方法5。 它是一种正交变换，它类似于离散傅里叶变换(DFT)，但是只使用实数。离散余 弦
5、变换相当于一个长度大概是它两倍的离散傅里叶变换， 这个离散傅里叶变换是 对一个实偶函数进行的。它的思想是将一个实函数对称延拓成一个实偶函数，实 偶函数的傅立叶变换也必然是实偶函数，连续函数和离散函数（CFT）都是基于 这一原理。 在20世纪80年代至90年代初期，人们对DCT快速算法的研究较多，并且取得 了巨大的成功。早在1977年，Chen根据变换矩阵具有对称性，利用稀疏矩阵分 解法第一次提出DCT的快速算法。l984年BGLed 提出了一种使用余割因子 的DCT矩阵分解方法，得到Cooley-Tukey式的简单结构，受到广泛重视。后来 Duhamel将DCT看成是一种基于循环卷积的算法，并
6、证明。对于一维的8点DCT， 其乘法的理论下限值是l1次，CLoeffler 具体实现了这种ll步乘法的算法。从此 以后，一维DCT快速算法的研究进展缓慢。2000年TracDTrar提出了一种DCT 的近似快速算法，在算法中也没有用到乘法，但使用了移位运算。在国内，赵耀 等人也提出了一种“基于矩阵分解的DCT-I算法”16 ，该方法也用到了l2次乘法。 离散余弦变换的提出虽然比快速傅立叶变换(FFT)晚，但其性能更接近于理 想的KLT变换， 并且由于KLT 到目前为止没有发现有效的快速速算法， 所以DCT 在信号处理中得到了广泛应用6。离散余弦变换(DCT)域是数字信号处理技术中 最常用的线性变换之一，和离散傅里叶变换一样，也存在着快速算法。它的快速 算法也是在继承完善DFT的基础上不断进步的。但由于离散余弦变换(DCT)的变 换核为实数的余弦函数，因此它的计算速度比变换核为复数指数的DFT要快。所 以高效快速的离散余弦变换(DCT)得到了广泛应用，并且不断激发人们对其快速 算法的研究7 ，8，9。 基于以上研究现状，
