1、 摘 要 激光器谐振腔内的模式计算是提高激光器输出光束质量和应用自适应光学系统校 正腔内像差的前提和基础。在理论分析的基础上,着重采用数值迭代解法（Fox-Li 方法 即福克斯和厉鼎毅迭代法）计算平行平面腔（F-P 腔）在初始光场三阶梯分布条件下, 自再现模的光场振幅的分布。用数学软件 MATLAB 建模编写计算程序，计算结果表明,在 经过 260 次渡越后,归一化的振幅分布实际上已不再发生变化,则已找到光腔的一个自 再现模式或横模分布。 关键词: 数值迭代法；光场振幅分布；MATLAB 数值模拟 目 录 1 引言 1 2 理论分析 2.1 原理 2 2.2 平行平面腔迭代法的算法实现 3 3
2、 MATLAB 数值模拟 . 5 3.1 程序原代码 5 3.2 数值模拟结果 6 3.3 结果分析 7 4 总结 8 【参考文献】 9 1 引言 谐振腔是激光器的主要构造之一，使激光通过增益物质，实现光的自激振荡。在激 光器出光的过程中,谐振腔内存在许多扰动因素,如腔镜失调、 增益介质不均匀、 热效应、 腔镜变形等,这些腔内扰动因素都会引起不同程度的腔内像差,带来光束质量的下降和 光束能量的降低。 目前采用自适应光学系统对腔内像差进行校正,定量得到腔内像差扰动对输出光束 模式的影响,通过适当的控制算法对像差波前进行实时地校正,而腔内模式计算是这一 过程的前提。平行平面腔（又称为 FP 腔）它
3、由两块平行平面反射镜组成，在激光发 展史上最先被采用。 目前， 在中等以上功率的固体激光器和气体激光器中仍常常采用它。 其主要优点是，光束方向性极好、模体积较大、比较容易获得单横模振荡等。 谐振腔的经典理论仅给出了部分简单腔型的模式解析解。对于平行平面腔以及在激 光器的不断发展过程中所涌现的许多新型结构谐振腔通常是没有解析结果的,必须采用 各种数值模拟方法进行求解。所以本文基于平行平面腔，研究初始光场三阶梯分布条件 下,自再现模的光场振幅。由于平行平面腔振荡模所满足的自再现积分方程： v(x,y)= ),(),(dsyxvyxyxK s 至今尚得不到精确的解析解， 因此本文致力于研究平面腔模的
4、迭代解法 （Fox-Li 方法） 。 Fox-Li 方法是一种模式数值求解中普遍适用的一种方法,只要取样点足够多,它原则上 可以用来计算任何形状开腔的自再现模,并且,还可以计算诸如腔镜的倾斜、镜面的不平 整性等因素对腔内模式造成的扰动. 2 理论分析 2.1 原理 所谓迭代法：用变量的旧值不断递推出新值解决问题的方法，通常用于数值计算。 对于开放式光腔，镜面上稳态场分布的形成可以看成是光在两个界面间往返传播的结 果。因此，两个界面上的场必然是互相关联的：一个镜面上的场可以视为由另一个镜面 上的场所产生，于是求解镜面上稳态场的分布问题就归结为求解一个积分方程。本文基 于初始光场三阶梯分布条件下，
5、分析自再现模的光场振幅分布。利用迭代公式 s ds j Ku j u 1 (1.1) )cos1( ),(4 ),( ),( yxyx eik yxyxK yxyxik (1.2) 其中，(1.2)式称为积分方程的核，可直接进行计算。首先，假设在某一个镜面上存在 一个初始场分布 1 u ，将它代入上式，计算在腔内经第一次渡越而在第二个镜面上生成的 场 2 u ，然后再将所得的 2 u 代入(1.1)式，计算在腔内经第二次渡越而在第一个镜面上生 成的场 3 u 。 如此反复运算并注意经过足够多次以后， 在腔面上能否形成一种稳态场分布。 在对称开腔的情况下，当 j 足够大时，有数值计算得出的 j
6、u ， 1j u ， 2j u ，能否满足下 n （x，y） （x，y） U2 U1 菲涅尔基尔霍夫积分公式中各量的意义 式关系 jj uu 1 1 ， 12 1 jj uu 式中，为复常数。如果直接数值计算得出了这种稳定的场分布，则可认为找到了腔的 一个自再现模或横模。 原理示意图如下： 2.2 平行平面腔迭代法的算法实现 以对称条状腔为例，分析平行平面腔中自再现模的形成。考察镜的宽度为 2a，腔长 为 L 的对称条状腔。 uq+1 uq u1 L u1 u3 u2 u4 2a u3 uq+1 u2 uq u1 u2 u3 初始入射波 （a） （b） （c） 开腔中自再现模的形成 （a）理想开腔； （b）孔阑传输线； （c）自再现模的形成 其中 222 )()(Lyyxx 所以整理得： a a xx dxxvxxKxv )(),()( b b y dy
