1、 1 数学建模 血样的分组检验血样的分组检验 摘要摘要: 本文以医学的调查统计为基础，进行抽象，利用概率论知识组建模型，对何时分组和怎样分组给出了详尽的讨论 并对结果进行了符合实际情况的解释，结合真实的数据对模型进行了验证，最后对模型加以改进和推广。 1 1 问题描述问题描述 要在人群中（数量很大，基本上是健康人）找出某种病毒的感染者，为减少检验次数（目的是降低 费用） ，通常采用筛选的办法。即假设人群总数为n，将人群分成m组，每组的人数为k，将每组的k 份血样混在一起进行化验，若化验结果呈阳性，则需要对改组的每个人重新进行化验，以确定谁是病毒 感染者；若化验结果呈阴性，则表明该组全体成员均为
2、阴性，不需要重新化验。 （1） 已知阳性的先验概率为p，当p固定时，如何分组可使得化验次数最小； （2） 找出不应分组的p的取值范围； （3） 讨论两次分组的情况，即检测为阳性的组再次分组检验的情况。 2 2 问题的分析问题的分析 本问题所述的情况在医学统计、 病毒检测等诸多医学问题中是必须首要解决的问题。 进行某种疾病 的调查需要大量的统计数据， 而统计数据的取得主要靠实验的方法， 这就不可避免地要面临如何分组的 问题是效率最高（花销最少） ，找出最优分组方法是本文的主要目的。 由于人群总体数固定， 在讨论问题时， 我们可以借助于平均每人检验次数这个量来衡量分组与不分 组情况的好坏， 这是概
3、率模型的主要思路。 对于该问题， 若不分组， 一个人一个人检验， 共需检验n次， 平均每个人检验一次；采取分组的方法，直观上可以感觉到会降低检验次数。分组时计算每个人的平均 检验次数，若该值小于 1，即认为分组比不分组好。对于两次分组的问题，也采用上述思路，只要两次 分组时平均每个人检验次数小于一次分组时平均每个人的检验次数， 就可以认为两次分组的方法优于一 次分组的方法。 3 3 模型假设模型假设 下面给出该模型的基本假设： （1） 在实际操作中，多次分组的方法要比只分一次组或不分组的方法操作起来繁琐、耗时，且需要 更多的人力把工作的重点放在分组的方案上，实际增加了开支。所以若在人数不太多，
4、且两种 方法平均每人检验次数相近，宏观上解释就是当不分组或不继续分组比分组或继续分组的次数 少或二者差距不大时，使用少分组的方法效率更高、费用更省。本题由于叙述了人数很大的条 件，故哪种方法平均每人检验次数少，就采用那种方法； （2） 可以理解先验概率p为对某个人检验一次，结果呈阳性的概率，并假设先验概率在一次检验中 保持不变（即假设该概率p只与疾病有关，而对同一种疾病该值为常量） ； （3） 每个人检验一次是阳性的概率相互独立（即不考虑是否有遗传性与病毒的传染） ； （4） 为了简化模型便于讨论分析，假设每次分组时都能达到平均分配，而且在进行再次分组时采用 的对呈阳性的组进行组内分组的形式。这在实际中是普遍采用的一种方法，它比把呈阳性的组 的人重新打乱再进行分组的效率高出很多而且易被人接受。如果设 1 mm 、分别表示第一、二次 分组时分出的组数， 1 kk、 分别表示第一、二次分组每组的人数，则第一次分组总人数 kmn，第二次分组的总人数 11 kmk。可以通过调整 1 , kk的值实现最优分组方案。 顾仁杰：血样的分组检验 2 4 4
