1、 甘肃联合大学学生毕业论文甘肃联合大学学生毕业论文 题 目 不等式的证明 作 者： 柳苗苗 指导老师： 朱谦 师范 学院 数学 系 数学教育 专业 10 级 3 年制 4 班 2013 年 5 月 1 日 不等式的证明方法不等式的证明方法 摘要：摘要： 不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现 较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运 用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面就不等式的证明方法列举如下。 关键词：关键词： 比较法；综合法；分析法；换元法；增值代换法；利用“1”的代换型；反证法； 放缩法；构造函数法 不等式的证明是高中数学
2、的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现 较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运 用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作 一列举。 注意abba2 22 的变式应用。常用 22 22 baba (其中 Rba,)来解 决有关根式不等式的问题。 一、比较法一、比较法 比较法1是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知 a,b,c 均为正数，求证： accbbacba 111 2 1 2 1 2 1 证明：a,b均为正数; 0 )(4)(4 4)()(1 4 1 4 1)( 2 baabbaab abb
3、aabab baba ba 同理0 )(4 1 4 1 4 1)( 2 cbbccbcb cb ，0 )(4 1 4 1 4 1)( 2 caacacac ac 三式相加，可得0 111 2 1 2 1 2 1 accbbacba accbbacba 111 2 1 2 1 2 1 二、二、综合法综合法 综合法5是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已 知条件推出所要证明的结论。 2、a、b、 ),0(c ， 1cba ，求证： 3 1 222 cba 证： 2222 )(1)(3cbacba 2222 )()(3cbacba0)()()( 222222 222 222 ac
4、cbba cabcabcba 3、设a、b、c是互不相等的正数，求证： )( 444 cbaabccba 证： 2244 2baba 2244 2cbcb 2244 2acac 222222444 accbbacba cabcbbacbba 222222222 22 同 理 ： abcaccb 22222 2 bcabaac 22222 2 )( 222222 cbaabcaccbba 4、 知 a,b,cR，求证:)(2 222222 cba accbba 证明： )( 2 222222 2)(22 ba bababa abab 即 2 )( 2 22 ba ba ， 两边开平方得)( 2
5、2 2 222 baba ba 同理可得)( 2 222 cb cb )( 2 222 ac ac 三式相加，得 )(2 222222 cba accbba 5、 ),0(yx、 且 1 yx ，证： 9) 1 1)( 1 1( yx 。 证： )1)(1() 1 1)( 1 1( y yx x yx yx )(25)2)(2( y x x y y x x y 9225 6、已知. 9 11 1 1 11, ba baRba求证： 策略：由于 的背后隐含说明1, 4 1 2 1, 2 baRbaab ba ab baRba . 4 1 ab着一个不等式 证明： 4 1 1, abbaRba。 .9 1 1 1 1 .981 2 1 1 1 111 1 1 1 1 1
