1、定积分的应用定积分的应用 摘要：摘要：本文简要的讨论了定积分在数学、物理学科的基本应用：数学方面包括应用定 积分计算平面图形的面积，立体图形的体积，求数列极限和证明不等式；物理方面包 括应用定积分去求变力对物体所做的功以及求电场的场强。 关键词：关键词： 定积分 ；电场强度； 数列极限 引言引言：恩格斯曾经指出，微积分是变量数学的最重要的部分，微积分是数学的一个重 要的分支，它是科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工 具：如复杂图形的研究，求数列极限，证明不等式等；而在物理方面的应用，可以说 是定积分最重要的应用之一，正是由于定积分的产生与发展，才使得物理学中精确的 测量计
2、算成为可能，从而使物理学得到了长足的发展：如气象、弹道的计算，人造卫 星轨迹的计算，运动状态的分析等，都要用得到微积分。 一一 定积分在计算图形面积定积分在计算图形面积, ,立体图形体积上的应用立体图形体积上的应用 1 1 计算平面图形的面积计算平面图形的面积 例例 1 1 计算一块材料（如右图）的面积 分析: 做图: 图 1 如图 1 阴影部分面积即为材料面积,抛物线方程为1 2 xy,直线方程3 yx 解: 由于曲线1 2 xy与直线3 yx在点(1,2)相交,所以: 3 0 )(dxxfS, 其中 313 101 )( 2 xx xx xf 所以 3 1 1 0 2 )3()1(dxxd
3、xxS = 0 1 3 3 x x + 1 3 2 3 2 x x = 3 10 ) 2 1 3() 2 9 9(1 3 1 2 2 求立体图形的体积求立体图形的体积 用类似求平面图形面积的思想我们也可以求一个立体图形的体积,例如一个木 块的体积,我们可以将此木块作分割 T:cxxxb n 10 划分成许多基本的小块, 每一块的厚度为)( x,假设每一个基本的小块横切面积为)( xA,)( xA为cb,上连续函 数，则此小块的体积大约是)()(xxA,将所有的小块加起来,令T0,我们可以得到 其体积 c bx T xxAV)()(lim 0 。 下面来看几个例题: 例例 2 2 一块由直线ay
4、 和直线ax3及弧axy 2 ,)0,3(aaxa所共围成的 区域，以 x 轴为轴旋转一周所形成的体积是多少？ 分析：如图 2，阴影区域即为题意所指的区域, 其旋转体积求法， 可将区域 APQB 的旋转体积减去区域 APCB 的旋转体积，即为所求。 解：首先来求区域 APQB 的旋转体积： 2 222 3 0 4) 22 9 ( 3 2 a aa a a a x aaxdx 而区域 APCB 的旋转体积为一个圆柱体的体积 其半径为a，高为 2a， 故其体积为 32 22aaa。 所以区域 PCQ 的旋转体积为 333 224aaa 例例 3 3 由曲线)1( a x eby， x 轴及垂线0x和ax2 图 2 所围成的区域绕 x 轴旋转一周,试求此体积。 解: 如图 3 旋转体积为
