1、 1 小波变换以及应用小波变换以及应用 引言引言 小波分析是 80 年代中后期发展并成熟起来的一种信号处理分析方法，它有 效完成了信号的时间与空间的局部化，对于信号处理是一个强有力的方法。 图像是多媒体系统中非常重要的一部分，相当多的多媒体信息是以静止图像 和动态视频图像的信息表达出来的。人们为了更好地在多媒体创作中使用图像， 就必然要研究图像的压缩和如何丰富图像的表现效果。 本文对小波变换做了简单 的介绍并简单地介绍了小波变换在图象边缘析取、 图象压缩和图象拼接和镶嵌方 面的应用。 小波分析的起源小波分析的起源 长期以来，无论是信号处理界，还是数学界，人们力图寻求信号表示方法， 综合三角函数
2、系与 Haar 系两者优点的某种函数来分解任意函数。我们知道，这 两个函数系在以下意义上占据了两个极端位置。 三角函数系中的函数在频率即在 Fourier 变量域上是完全局部化的，但在空间或时间域上无任何局部性却很差， 这是因为它缺乏正则性与震荡性所致。 我们都曾使用过傅立叶变换，都知道傅立叶变换能把信号分解成各种频率的 正弦和余弦函数，也就是说它能实现频率的局部化，但大家有是否注意到它所分 解出的每个三角函数的有效域都是（-,+） ，也就是说它在时间域上无任何局 部性可言，可是，我们所面对的各种信号如图象、地震波等往往有着强烈的局部 相关性，要研究处理这些相关性，就需要更好的数学工具，小波分
3、析正是在这个 背景下发展起来的。它有效地分析了信号时域与频域的局部性，成为信号分析的 一个强有力的方法。所谓“小” ，正是指小波函数在时域上的局部性，所谓“波” 正是指小波函数的波动性也就是说在频域上的局部性。 小波分析的方法的提出，可以追溯到 1910 年 Haar 提出的小“波”规范正交 基及 1938 年 Littlewood-Parley对 Fourier 级数建立的 L-P 理论，即按二进制频率 2 成分分组 Foureier 变换的相位变化本质上不影响函数的形状及大小。其后， Calderon于 1975 年用其早年发现的再生公式给出抛物型空间上 H1的原子分解， 这个公式后来成了
4、许多函数分解的出发点，它的离散形式已接近小波展开，只是 还无法得到组成一正交系的结论。1981 年 Stromberg 对 Haar 系进行了改进，证 明了小波函数的存在性。 1982 年 Battle 在构造量子场理论中使用了类似 Calderon 再生公式的展开。值得注意的是，1984 年法国地球物理学家 Morlet 在分析地震 波的局部性质时，发现传统的 Fourier 变换难以达到要求，因此他引入小波概念 于信号分析中对信号进行分解。随后，理论物理学家 Grossman对 Morlet 的这种 信号按一个确定函数的伸缩，平移系0,:(| 2/1 aRba a bx a展开的可行 性进
5、行了研究，这无疑为小波分析的形成开了先河。 真正的小波热开始于 1986 年，当时 Meyer 创造性地构造出了具有一定衰减 性的光滑函数，其二进制伸缩与平移,:)2(2)( 2/ , Zkjktt jj kj 构成 L2(R)的规范正交基。在那以前，人们或许认为具有如此好性质的小波函数时一 个数学神话而对其存在性发生了动摇。事实上，Daugechies、Grossman和 Meyer 在此之前的工作就退而研究函数及数a0与b0使函数系)(| 00 2 0 kbtaa j j 构成 L2(R)的框架的条件去了。 继 Meyer 提出小波变换以后，Lemarie 和 Battle 又分别独立地给
6、出了具有指 数衰减的小波函数。1987 年，Mallat 巧妙地将计算机视觉领域内的多尺度分析 的思想引入到小波分析中小波函数的构造及信号按小波变换及重构， 从而成功地 统一了在此之前的 Stromberg、Meyer 和 Battle 提出的具体小波函数的构造，研 究了小波变换的离散化情形，并将相应的算法现今称之为 Mallat 算法有效 地应用于图象分解与重构。与此同时，Daubechies 构造了具有有限支集的正交小 波基这样，小波分析的系统理论初步得到建立。1988 年，Arneodo 及 Grasseau 等人将小波变换运用于混沌动力学及分形理论以研究遄流及分形生长现象。 1990 年崔锦泰和王建忠构造了基于样条函数的所谓单正交小波函数， 并讨论了具有最 好局部化性质的多尺度分析的生长函数及相应的小波函数。也是 1990 年 Beylkin,Coifman 等将小波变换应用于算子理论。1991 年，Jaffard 及 Laurencot 将小波变换应用于偏微分方程数值解，而 Wickerhan
