1、 数学归纳法及其在数列中的应用 院（系）名称 数学与信息 科学学院 专 业 名 称 数学与应用数学 学生姓名 学号 指导教师 副教授 1 摘要：数学归纳法是数学思维方法中最重要、最常用的方法之一, 这不仅因为其 中大量问题都与自然数有关, 更重要的是它贯穿于发现问题和解决问题的全过程. 本文对数学归纳法的由来、运用技巧以及需要注意的问题进行较为完整的系统论 述. 重点阐述了第一数学归纳法的精髓和一般的解题思路, 以及在求解数学问题 中的应用和技巧. . 关键词：归纳法 第一数学归纳法 不等式 数列 1 引言 对于数学归纳法的研究国内已有不少论文, 这些论文在具体方面做了详尽的 论述. 同时还有
2、数量不少的论文从数学归纳法的细微处着眼. 我国的数学期刊或 数理杂志, 如数学教育报, 数学通报, 数学通讯等, 刊载的相关文 章都从各个角度具体阐述了数学归纳法的常见问题. 数学归纳法是数学中一种重 要的证明方法, 也是中学数学一个非常重要的内容, 用于证明与无穷的自然数集 相关的命题. 但凡涉及无穷, 总会花费数学家大量时间与精力, 去理解并弄清它 的真正意义. 普通归纳法与自然数这一最古老的数学概念及“无穷”这个无法直 观感觉的概念相结合的“数学归纳法”, 自然也需要一个漫长的认识过程.在 16 世纪晚期, 数学归纳法开始出现在代数中. 1575 年意大利数学家莫洛里克斯 （1494-1
3、575）在他的著作算术中就提出了这种方法, 并证明了 2 135(21)nn, 虽然莫洛里克斯并没有把数学归纳法贯彻到底, 例如 经有限的验证后便以“等等”一类的话代替了必要的演绎, 但是可以说莫洛里克 斯算是一个与数学归纳法有关的一个早期的数学家, 一般认为, 历史上第一次成 功利用数学归纳法的是 17 世纪法国数学家帕斯卡（1623-1662）, 1654 年, 帕斯 卡第一次用数学归纳法证明了指数为正整数时的二项式() n ab展开式的系数公式, 从而得到有名的帕斯卡三角阵. 继帕斯卡之后, 数学归纳法就成为数学家们手中得心应手的工具, 如在费马 （1601-1665）、伯努力（1654
4、-1705）、欧拉（1707-1783）这些大数学家们的出 色工作中, 都可以找到数学归纳法的例子, 1889 年意大利数学家皮亚诺 (CPeano, 18581932, 意大利)发表算术原理新方法, 给出自然数的公里 2 体系, 使数学归纳法有了一个准确、合理的理论基础现在开始我们重新认识一 下数学归纳法. 2 数学归纳法的原理 2.1 归纳法在现实中的一些运用 先从少数的事例中摸索出规律来, 再从理论上来证明这一规律的一般性, 这 是人们认识客观世界的方法之一. 不论在数学上, 或在其他场合, 从对一系列具 体事物的考察中引出一般性结论的推理方法或过程, 叫做归纳法. 人们从有限的 经验中
5、得出经验性的结论是屡见不鲜的, 在这个过程中人们自觉或不自觉地运用 了归纳法. 许多闪烁着人类思想光芒的谚语、成语、格言等, 都是应用归纳法的 产物. 如“兵贵神速”、“骄兵必败”, 都是对战争的胜负规律的一种认识, 同 样“滴水石穿”、“有志竟成”是人们考察了古往今来许多有成就者的经历后得 出的. 2.2 数学归纳法的本原 理解了归纳法我们再具体到数学中来, 以识数为例. 小孩子识数, 先学会数 1 个、2 个、3 个, 过些时候, 能够数到 10 了, 又过些时候, 会数到 20, 30, 100 了, 但后来, 就不再是这样一段段地增长了, 而是飞越前进. 倒了某个时候, 他领悟了, 就
6、什么数都会数了, 这一飞跃, 竟是从有限到无穷!怎样会有这种方 式呢? 首先, 他知道从头数; 其次, 他知道一个一个按次序数, 而且不愁数了一 个以后, 下一个不会数, 也就是领悟了下一个数的表达方式, 可以由上一个数来 决定, 于是, 他也就会数任何数了. 解释这个飞跃的原理就是, 正是运用了数学 归纳法的思想, 数学归纳法大大地帮助我们认识客观事物, 由简到繁, 由有限到 无穷. 1979 年 6 月 9 日, 在英国伦敦, 一群记者和上千名观众静静注视着一个人, 急切的等待着一项基尼斯世界纪录的诞生. 这个人就是迈克凯尼, 他用 13 天的 时间, 用了 169713 块骨牌搭出一个长达 6900 米的多米诺牌阵, 当迈克凯尼走 到第一块骨牌前, 用手轻轻推到它时, 奇迹出现了将近17万张骨牌组成的长 达6900米的多米诺阵在半小时内统统颠覆. 这就是神奇的多米诺现象, 在这个过 程中要使所有的骨牌倒下必须满足两个条件, （1）第一块骨牌倒下；（2）任意 3 两块相邻骨牌, 只要前一块倒下, 后一块必
