1、 1 行列式的解法小结行列式的解法小结 摘要摘要：本文列举了行列式的几种计算方法：如化三角形法，提取公因式法等， 并指明了这几种方法的使用条件。 关键词：关键词：行列式 三角形行列式 范德蒙行列式 循环行列式 行列式的计算是一个很重要的问题，也是一个复杂的问题，阶数不超过 3 的行列式可直接按行列式的定义求值，零元素很多的行列式（三角形行列式）也 可按行列式的定义求值。对于一般n阶行列式，特别是当n较大时，直接用定义 计算行列式几乎是不可能的事。因此，研究一般n阶行列式的计算方法是十分必 要的。由于不存在计算n阶行列式的一般方法，所以，本文只给出八种特殊的计 算方法，基本上可解决一般n阶行列式
2、的计算问题。 1 升阶法升阶法 在计算行列式时，我们往往先利用行列式的性质变换给定的行列式，再用展 开定理使之降阶，从而使问题得到简化。有时与此相反，即在原行列式的基础上 添行加列使其升阶构造一个容易计算的新行列式，进而求出原行列式的值。这种 计算行列式的方法称为升阶法。凡可利用升阶法计算的行列式具有的特点是：除 主对角线上的元素外，其余的元素都相同，或任两行（列）对应元素成比例。升 阶时，新行（列）由哪些元素组成？添加在哪个位置？这要根据原行列式的特点 作出选择。 例例 1 计算 n阶行列式 2 21 2 2 212 121 2 1 nnn n n n acaaaa aaacaa aaaaa
3、c D ，其中0c 解 2 21 2 2 212 121 2 1 21 0 0 0 1 nnn n n n n acaaaa aaacaa aaaaac aaa D ca ca ca aaa n n 00 00 00 1 2 1 21 将最后一个行列式的第 j 列的 1 1 j ac倍加到第一列（)13,2nj，就可以 变为上三角形行列式，其主对角线上的元素为 1+ n i i cccac 1 2 1 , 2 故 n i i n n n accD 1 2 1 例例 2 计算 n阶行列式 n n nn n n nn n n n xxx xxx xxx xxx D 21 22 2 2 1 22 2
4、 2 1 21 111 解 好象范德蒙行列式，但并不是，为了利用范德蒙行列式的结果，令 nn n nn nn n nn nn n nn n n n yxxx yxxx yxxx yxxx yxxx D 21 111 2 1 1 222 2 2 1 222 2 2 1 21 1111 按第1n列展开，则得到一个关于y的多项式， 1n y的系数为 nn nn DD 1 )1(。另一方面 nij n i ijin xyxxD 11 1 )(*)( 显然， 1n D中 1n y的系数为 nij nji xxxxx 1 21 )()( 所以 n inij jiin xxxD 11 )(* 2 利用递推关
5、系法利用递推关系法 所谓利用递推关系法，就是先建立同类型 n阶与 n-1 阶（或更低阶）行列式 之间的关系递推关系式，再利用递推关系求出原行列式的值。 例例 3 计算 n阶行列式 acc bac bba D n ，其中0,bccb 解 将 n D的第一行视为,0,0,)(cccca据行列式的性质，得 3 acc bac bbc ac ba bbca acc bac bbcca D n 0 0 0 0 1 1 )()( n nn bacDcaD )1( 于 b 与 c 的对称性，不难得到 1 1 )()( n nn cabDbaD )2( 联立（1） ，(2）解之，得 nn n baccabcbD)()()( 1 例例 4 计算 n阶行列式 ba abba ba abba abba D n 0000 000 0010 001 000 解将 n D按第一行展开，得 ba abba ba ab abDbaD nn 100 00 000 001 1 于 是 得 到
