1、 1 伴随矩阵的性质及其应用伴随矩阵的性质及其应用 * 摘摘 要要 在高等代数中，伴随矩阵作为一种特殊的矩阵有很多特殊的性质，从某种意 义上来说，它和正定矩阵、正交矩阵一样,不仅在理论很有研究价值而且在实践上也有广泛 的应用. 本文主要是针对伴随矩阵的多种性质以及特殊的矩阵(比如上三角矩阵、对称矩阵等) 的伴随矩阵所具有的性质进行了系统的研究， 同时在计算伴随矩阵中应用伴随矩阵的特殊性 质去简化计算，使某些矩阵的伴随矩阵的求法简单可行，避免了大量复杂的计算. 关键词关键词 伴随矩阵 特殊矩阵 上三角矩阵 1 1 序言序言 伴随矩阵是一种特殊的矩阵，在矩阵的研究中占有很重要的地位.前人针对伴随矩
2、阵的 性质及其应用等方面做了大量的工作.而本文在借鉴前人的基础上，首先研究的是伴随矩阵 的性质， 其次对某些特殊矩阵的伴随矩阵进行研究， 最后利用特殊矩阵的伴随矩阵的性质对 某些题目应用简单方法进行计算. 2 2 伴随矩阵的性质伴随矩阵的性质 2.12.1 伴随矩阵的定义伴随矩阵的定义 设=( ij a)是一个n级矩阵， 11211 12222 * 12 n n nnnn 叫做的伴随矩阵，其中 ij 是 ij a的代数余子式，很显然 * 的元素是由的一切 n-1 级代数余子式组成. 2 2.2 2.2 伴随矩阵的基本性质伴随矩阵的基本性质 定理定理 2.1 2.1 * E n 证明证明 （略）
3、. 定理定理 2.22.2 设为 n（n1）阶方阵，则有 * ()rank = ,() 1,()1 0,()1 nrankn rankn rankn 证明证明 （1）当()rankn时，0，由 * = 知， * n ， 即 1 * 0 n ，所以 * ()rankn. （2）当()1rankn时，0，所以 * 0，知 * 的列向量都是方程0 的解，由于()1rankn，齐次线性方程组0A X 的解向量组的秩为 n-（n-1）=1，知 * 的列向量组的秩为 1，即列秩为 1，故 * ()1rank . （3）当()1rankn时， * 的每一个元素 ij 都是零，因为没有不为 0 的 n-1 阶
4、 子式，故 * ()0rank . 定理证毕. 对定理 2.2 有如下两个推论： 推论推论 1 1 和 * 同时可逆或不可逆.若()rankn， *1 ； 若()1rankn时， * =0. 推论推论 2 2 * ,() () ) 0,() nrankn rank rankn 定理定理 2.32.3 设为(1)n n 阶方阵，即 (*)k 为 * ()，则有 （1） *1* () n kk （2） (*) (1)(1) * (1)1 0()1,1 0()1,2 (), (), k k k nn n n n ranknk ranknk rankn k rankn k 为 奇 数 为 偶 数 对k
5、N. 特别，有 2 * () n 3 证明证明 （1）可直接由定义计算出来. (2) 当 k=1 是，结论成立，当 k=2 时，()rankn，由 *1 ， 所以 2 2 (*)*1111 ()()() n k=2 时成立. 假设 k-1 结论成立，则对于 k 当 k 为奇数时 1 1 (1)1 (*)(*)* ()() k kk n n (1)(1) * k nn n k 为偶数时 1 1 (1)(1) (*)(*)* ()() k kk nn n 2 2 (1)(1) (*) k nn n 2 (1)(1) 2 k nn n n 2 (1)(1)(2 ) k nnnn n (1)1 k n n 所以对任意的 k，结论成立. 对定理 2.3 有如下推论： 推论推论 若为 nn（n3）非可逆矩阵，则的 m（m2）重伴随矩阵 (*) 0 m 证明证明 由于为 n（n3）且()1rankn的矩阵，由定理 2.2，则 *
