1、 目目 录录 1 摘要 1 2 关键词 1 3 基本概念与定理 1 4 有限区间上一致连续函数的判定 1 5 无限区间上一致连续函数的判定 4 6 一致连续性的应用 8 7 参考文献 10 8 英文摘要 10 1 函数一致连续性的判定 摘要： 函数在区间 I 上的一致连续性与连续是两个不同的概念,后者是一个局部性概念,前者 具有整体性质,它刻画了函数 f(x)在区间 I 上变化的相对均匀性.本文总结了几个判别函数 一致连续性的方法，并给出了几个简单应用. 关键词：函数、连续、一致连续、收敛 引言引言 函数的一致连续是数学分析中的一个重要概念.连续是考察函数在一个点的 性质而一致连续是考察函数在
2、一个区间的性质.一致连续比连续的条件要严格， 在区间上一致连续的函数则一定连续，但连续的函数不一定一致连续.因此本文 总结了通过函数的连续性寻找一些函数一致连续的判别法. 1 1基本概念与定理基本概念与定理 定 义 （ 一 致 连 续 ）： 设 函 数()fx在 区 间I上 有 定 义 ， 若 0,0,Ixx 21, ， 当 12 xx时， 有 12 ()()fxfx， 则称函数()fx 在I上一致连续. 注：设函数()fx在区间I上有定义，若Ixx 210 ,0,0，当 12 xx时，有 021 )()(xfxf，则称函数()fx在区间I上不一致连续. （Cantor定理） ：若函数()fx
3、在区间ba,连续，则()fx在区间ba,上一连续. 2 2.有限区间上一致连续函数的判定有限区间上一致连续函数的判定 定理定理 1 1 函数()fx在,a b上一致连续的充要条件是函数()fx在,a b上连 续. 定理定理 2 2 函数()fx在,a b上一致连续的充要条件是函数()fx在,a b上连续 且lim() xa fx ，lim() xb fx 都存在. 证明证明 必要性，因为函数()fx在,a b上一致连续， 即0,0,x ya b，且xy，有( )()fxfy，显然函数 ()fx在,a b上连续，且0,0, 12 ,xxa b，当 12 ,xxa a时，当 然 12 xx，有 1
4、2 ()()fxfx. 2 根据柯西收敛准则，lim() xa fx 存在.同理可证，lim() xb fx 存在. 充分性,因为lim() xa fx ，lim() xb fx 都存在，分别设为A和B， 构造函数： ()(), Axa Fxfxxa b Bxb 显然()Fx在,a b上连续， 由定理1可知：()Fx在,a b上一致连续， 从而()Fx 在,a b上一致连续. 推论推论 1 1 函数()fx在ba,（,a b） 上一致连续的充要条件是函数()fx在ba, （,a b）上连续，且lim() xa fx （lim() xb fx ）存在. 推论推论 2 2 若函数()fx在有限区间
5、I上连续、单调、有界、则函数()fx在I上 一致连续. 定理定理 3 3 设()fx在区间,a b（,a b是有限区间或无穷区间） 连续， 则()fx在 ,a b内闭一致连续.即,a b，()fx在,上一致连续. 结论的正确性有C antor定理直接可得.用此条件能解决很多关于函数性质的 证明题.其解题思路是把开区间上的问题转化到闭区间上，从而利用C antor定 理. 定理定理4 4 若函数()fx在,a b及,b c都一致连续， 则()fx在,a c上一致连续. 注：改,b c为,b 时，结论也成立. 证明证明 已知函数()fx在,a b与,b c一致连续，即： 0， 112 0,xxa b 且 121 xx，有 12 ()() 2 fxfx ； 0， 212 0,xxb c 且 122 xx，有 12 ()() 2 fxfx . 于是，有0， 12 m in,0， 12 ,xxa c，且 12 xx， 当：1） 1
