1、 X X 大大 学学 行列式的计算行列式的计算 学生姓名： 学 号： 班 级： 专 业： 系 别: 指导教师： 行列式的计算行列式的计算 摘 要：行列式是高等代数研究中的一个重要工具.本文从行列式的计算出 发，通过例题，介绍行列式计算中的一些方法，同时初步给出了一些特殊行列式 的计算方法，得出了一些关于行列式计算的技巧. 关键词：行列式；三角化法；因式定理法；递推法；数学归纳法 引 言 行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是 数学中一种非常有用的工具.行列式是由莱布尼茨和日本数学家关孝和发明的.同 时代的日本数学家关孝和在其著作解伏题元法中也提出了行列式的概念与算
2、法. 1750 年，瑞士数学家克拉默(1704-1752)在其著作线性代数分析导引中， 对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所 称的解线性方程组的克拉默法则.稍后，数学家贝祖 (1730-1783)将确定行列式每 一项符号的方法进行了系统化， 利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线 性方程组有非零解. 行列式是多门数学分支学科一个工具，在我们学习高等代数时，书中只 介绍了几种较简单的行列式计算方法， 但是在遇到比较复杂或技巧性比较强的行 列式时，只局限于书上的几种方法，那解题就有点麻烦.这里我讨论了行列式计 算的若干方法，针对不同的行列式来选择相对简单的计算
3、方法，来提高解题的效 率. 1 基本概念的简单介绍 1.1 n 级行列式 定义 1 1 n级行列式 nnnn n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 （1） 等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积 n njjj aaa 21 21 的代数和.其中 n jjj 21 是1, 2, n的一个排列， n njjj aaa 21 21 的每一项都按下列规则带有符号： 当 n jjj 21 是偶排列时， n njjj aaa 21 21 带有正号，当 n jjj 21 是奇排列时， n njjj aaa 21 21 带有负号. 1.2 矩阵 在叙述行列式的重要公式和结论以及后面计
4、算行列式过程中可能要用到矩 阵及其有关概念，所以在这里简单介绍一下矩阵及其部分概念. 定义 2 1 由sn个数排成的s行（横的）n列（纵的）的表 1 11 21 2 12 22 12 n n sssn aaa aaa aaa （2） 称为一个sn矩阵. 特别地，当sn时，（1）称为（2）的行列式，如果把（2）记作A，则（1） 表示为A. 定义 3 1 在行列式 nnnn n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 中划去元素 ij a所在的第i行和第j列后，剩下的 2 )1(n个元素按照原来的排法构 成一个1n级行列式 nnjnjnn nijijii nijijii njj
5、aaaa aaaa aaaa aaaa 1,1,1 ,11,11,11 ,1 ,11,11,11 ,1 11,11,111 （3） 称为元素 ij a的余子式，记作 ij M，而 ij ji M )1(称为 ij a的代数余子式，记作： ij ji ij MA )1( （4） 定义 4 1 我们把 1 12 11 1 22 22 12 s s nnsn sn aaa aaa aaa （5） 称为矩阵（2）转置，记作 A 或 T A，显然，sn矩阵的转置是ns矩阵. 定义 5 1 在一个n级行列式D中任意选定k行k列)(nk 位于这些行和列 的交点上的 2 k个元素按照原来的次序组成一个k级行列式M,称为行列式D的 一个k级子式. 2 行列式的性质 按照行列式的值可分为以下几类： 性质 1 行列式值为 0 1) 如果行列式有两行相同，则行列式值为 0; 2) 如果行列式有两行成比例，则行列式值为 0; 3) 行列式中有一行为 0，则行列式的值为 0. 性质 2 行列式值不变 1) 把一行的倍数加到另一行，行列式值不变, 即 nnnn knkk kninkiki n nnnn knkk inii n aaa aaa caacaacaa aaa aaa aaa aaa aaa 21 21 2211 11211 21 21 21 11
