1、 毕毕 业业 论论 文文 题题 目：目：几种求平面图形面积的方法几种求平面图形面积的方法 学生姓名 xxxxxx 指导教师 xxx 系（部） 师范教育系 专 业 数学教育 班 级 学 号 xxxxxx 提交日期 201 年 月 日 答辩日期 201 年 月 日 201 年 月 日 II 几种求平面图形面积的方法几种求平面图形面积的方法 摘摘 要要 本文研究的主要问题是平面内图形面积的几种解法， 解题方法是指解答数学 问题时，总体上所采取的方针、原则和方案。不同题目通过分析条件与结论之间 的差异，并不断缩小目标差来完成的。 关键词：平面图形 面积 III 目目 录录 现介绍几种常用的方法（1）
2、（一） 转化法 （1） （二） 和差法 （1） （三） 重叠法 （2） （四） 补形法 （2） （五） 拼接法 （2） （六） 特殊位置法 （3） （七） 代数法 （3） （八）直角坐标系-积分法 （4） 1、巧选积分变量 （4） 2、巧用对称性 （5） 参考文献 （6） 1 （一）转化法 此法就是通过等积变换、平移、旋转、割补等方法将不规则的图形转化成面积相等的规则 图形，再利用规则图形的面积公式，计算出所求的不规则图形的面积。 例 1. 如图 1，点 C、D 是以 AB 为直径的半圆 O 上的三等分点，AB=12，则图中由弦 AC、 AD 和 CD围成的阴影部分图形的面积为_。 分析：连结
3、 CD、OC、OD，如图 2。易证 AB/CD，则OCDACD和的面积相等，所以图中阴 影部分的面积就等于扇形 OCD 的面积。 易得60COD，故 6 360 660 2 OCD SS 扇形阴影 。 （二）和差法 有一些图形结构复杂， 通过观察， 分析出不规则图形的面积是由哪些规则图形组合而成的， 再利用这些规则图形的面积的和或差来求，从而达到化繁为简的目的。 例 2. 如图 3 是一个商标的设计图案，AB=2BC=8，A D E 为 1 4 圆，求阴影部分面积。 分析：经观察图 3 可以分解出以下规则图形：矩形 ABCD、扇形 ADE、R t E B C。所以， 84124 2 1 84
4、360 490 2 EBCRtABCDADE SSSS 矩形扇形阴影 。 2 （三）重叠法 就是把所求阴影部分的面积问题转化为可求面积的规则图形的重叠部分的方法。这类题阴 影一般是由几个图形叠加而成。要准确认清其结构，理顺图形间的大小关系。 例 3. 如图 4，正方形的边长为 a，以各边为直径在正方形内作半圆，求所围成阴影部分 图形的面积。 解：因为 4 个半圆覆盖了正方形，而且阴影部分重叠了两次，所以阴影部分的面积等于 4 个半圆的面积和与正方形面积的差。故 222 )1 2 () 2 (2aa a S 阴影 。 （四）补形法 将不规则图形补成特殊图形，利用特殊图形的面积求出原不规则图形的面
5、积。 例 4. 如图 5，在四边形 ABCD 中，AB=2，CD=1，A=60，B=D=90，求四边形 ABCD 所在 阴影部分的面积。 解：延长 BC、AD，交于点 E，因为9060BA，所以角 E 等于 30，又 3290DECDCEEDC，所以，易求得32BE，所以 2 33 2 1 2 1 DECDBEABSSS CDEABE阴影 。 （五）拼接法 例 5. 如图 6，在一块长为 a、宽为 b 的矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何 地方的水平宽都是 c 个单位） ，求阴影部分草地的面积。 3 解： （1）将“小路”沿着左右两个边界“剪去” ； （2）将左侧的草地向右平移 c 个单 位； （3）得到一个新的矩形（如图 7） 。由于新矩形的纵向宽仍然为 b，水平方向的长变成 了)(ca ，所以草地的面积为bcabcab)(。 （六）特殊位置法 例 6. 如图 8，已知两个半圆中长为 4 的弦 AB 与直径 CD 平行，且与小半圆
