1、 目目 录录 摘要摘要 I AbstractAbstract II 第第 1 1 章章 极限思想的形成与发展极限思想的形成与发展 1 1.1 极限思想的萌芽 1 1.2 极限思想的发展 1 1.3 极限思想的形成 2 1.4 极限思想的完善 3 第第 2 2 章章 极限思想在数学分析中极限思想在数学分析中的应用的应用 3 2.1 极限思想在概念里的渗透 3 2.2 极限思想在导数中的应用 . 4 2.3 极限思想在积分中的应用 5 第第 3 3 章章 证明极限存在以及求极限的方法证明极限存在以及求极限的方法 6 3.1 极限的四则运算法则和简单求极限技巧 6 3.2 用迫敛性准则求极限 7 3
2、.3 用泰勒公式求极限 7 3.4 用等价无穷小求极限 8 3.5 用洛必达法则求极限 8 3.6 用微分中值定理和积分中值定理求极限 9 第第 4 4 章章 总结总结 10 参考文献参考文献 . 11 致谢致谢 12 1 第 1 章 极限思想的形成与发展 极限思想作为一种重要的数学思想，在整个数学发展史上占有重要地 位，是研究数学、应用数学、推动数学发展必不可少的有力工具.本文通 过论述极限思想的发展过程以及它在诸多数学分支中的应用来说明极限 在数学中的重要地位. 按照极限思想的萌芽、发展、形成与完善过程，可将它分为 4 个阶 段. 1.1 极限思想的萌芽 古希腊时代欧多克斯提出的“穷竭法”
3、和芝诺的“二分法”可以说是极限理 论的雏形.在我国，极限思想的萌芽最早可以追溯到战国末期，在哲学著作庄 子.天下篇中就引进了惠施的著名命题： “一尺之锤，日取其半，万世不竭” ， 它可以写成一个无穷等比递减数列： ， 2 1 1， n32 2 1 2 1 2 1 当 n 无限增大（n=1,2,3，）时， 可取无限的小数，它的极限为 零，这样借助实物，极限的概念便被形象的表达出来了.然而在我国最早创立极 限概念，并用它来解决实际问题的却是数学家刘徽.他指出： “割之弥细，失之 弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣.”并最终利用这极限 思想求得了圆周率的近似值，独立的创造出了“割圆术
4、”. 然而当时人们在直观上对极限概念有了清楚的理解，但由于没有无穷小的 概念，因此也就不可能用数学语言准确的描述出极限概念，并且极限思想也没 有作为单独的研究对象真正独立出来.这在某种程度上是由于当时的经济状况 和生产力水平对数学的要求只停留在对度量和计量有用的范围内决定的. 1.2 极限思想的发展 17 世纪以天文学、力学及航海为中心的一系列问题导致了微积分的产生. 微积分尽管在实践中非常成功，但它的思想基础无穷小量在逻辑上却有很 多缺陷，被称为“失去了量的鬼魂” ，并由此直接导致了第二次数学危机.为了 2 消除危机， 许多数学家便主张利用极限的方法为微积分提供论证和说明的工具. 于是，他们对极限思想进行了深入研究，其阶段性的主要成绩如下. （1）达朗贝尔“理性的”极限概念 达朗贝尔脱下了“微分学神秘的外衣” （马克思语） ，首次尝试将微分学建 立在“理性的”极限观念基础上.他认为“一个量永远不会重合，但它总是无限 的接近它的极限，并且与极限的差要有多小有多小” ，这样达朗贝尔给出了极限 的描述性定义，但这个定义比较模糊，缺乏严密性. （2）罗伊里埃用极限奠定的微积分基础 数学家罗伊里埃用极限思想对古希腊的“穷竭法”做了修改，并用极限定 义导数，进而由导数来定义微分，排除了无穷小量和0 0 等有神秘色彩的概念和 符号.表明极限思想作为
