1、 I 目目 录录 1 引言 1 2 等价无穷小量的概念及其重要性质 . 1 2.1 等价无穷小量的概念 . 1 2.2 等价无穷小量的重要性质 . 2 2.3 等价无穷小量性质的推广 . 2 3 等价无穷小量的应用 5 3.1 求函数的极限 . 5 3.2 等价无穷小量在近似计算中的应用 . 6 3.3 利用等价无穷小量和泰勒公式求函数极限 . 6 3.4 等价无穷小量在判断级数收敛中的应用 . 7 4 等价无穷小量的优势 8 4. 1 运用等价无穷小量求函数极限的优势8 4. 2 等价无穷小量在求函数极限过程中的优势.9 5 结 论 . 12 参 考 文 献 . 13 致 谢 14 1 1
2、引言 等价无穷小量概念是微积分理论中最基本的概念之一,但在微积分理论中等价无穷 小量的性质仅仅在“无穷小的比较”中出现过,其他地方似乎都未涉及到.其实,在判断 广义积分、级数的敛散性,特别是在求极限的运算过程中,无穷小具有很好的性质,掌握 并充分利用好它的性质,往往会使一些复杂的问题简单化,可起到事半功倍的效果,反之, 则会错误百出,有时还很难判断错在什么地方.因此,有必要对等价无穷小量的性质进行 深刻地认识和理解,以便恰当运用,达到简化运算的目的. 2 等价无穷小量的概念及其重要性质 这部分在同济大学应用数学系主编的高等数学、华东师范大学数学系的数学分 析、马振明老师和吕克噗老师的微分习题类
3、型分析、张云霞老师的高等数学教学 以及 Song QB, Shen J Y. On illegal coping and distributing detection mechanism for digital goods J. Journal of Computer Research and Development 中做了详细的讲解,下面是我对 这部分的理解与总结.推广部分的性质在书中未做证明,根据所学的知识以及数学方法我 对其进行了证明. 2 2.1.1 等价无穷小量的概念 2.11 定义定义 若函数(包括数列)在某变化过程中以零为极限,则称该函数为这个变化过 程中的无穷小量. 如函数 2
4、 x, sinx, 1- cosx, ln(1+x)均为当x0 时的无穷小量.对于 数列只有一种情形, 即n, 如数列 1 n 为n时的无穷小量或称为无穷小数列. 注意： 1) 绝对值非常小的数不是无穷小量, 0 是唯一的是无穷小量的数; 无穷小量无限 趋近于0 而又不等于0. 2) 无穷小量是变量, 与它的变化过程密切相关,且在该变化过程中以零为极限. 如函数 1 x 当x 时的无穷小量,但当x1时不是无穷小量. 3）两个（相同类型）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量. 4）无穷小量与有界量的乘积为无穷小量. 2.12 无穷小量的比较无穷小量的比较 2 1) 若存在正数K和L,使得在某 0 (
5、) o Ux上有 () () fx KL gx ,则称f与g为当 0 xx时的 同阶无穷小量.特别当 0 () lim(0) () xx fx c c gx 则称()fx与()gx是同阶无穷小. 2) 若 () lim () fx gx =1, 则称()fx与()gx是等价无穷小量, 记为()fx()gx. 3) 若 () lim () fx gx = 0, 则称()fx是()gx高阶无穷小, 记作()fx=()o gx. 注: 并不是任意两个无穷小均可比较, 如当x0 时, 1 sinx x 与 2 x 都是无穷小量, 但它 们不能进行阶的比较. 2.2等价无穷小量的重要性质 设 , 等均为同一自变量变化过程中的无穷小, 若 , 且 lim 存在,则 lim =lim （ 11111 11111 limlim (.lim.lim.limlim ） 若 ,则 . 性质表明等价无穷小量量的商的极限求法.性质表明等价无穷小量的传递性. 2.3 等价无穷小量性质的推广 1, 且 lim =c(-1),则 +. 证明证明 因为 lim = 11 1 limlim() 11 1 11 limlim 11 cc 3 1 lim1 1 c c 所以 +. 而学生则往往在性
