1、 1 求矩阵特征向量的求矩阵特征向量的三三种方法种方法 摘摘 要要：突破了只用行初等变换求矩阵特征向量的思维模式，本文引用了“特征根与特征向 量的同步求解”的方法，并导出了“用列初等变换求矩阵的特征向量”的方法，理论上都给 出了它们的证明.在求矩阵特征向量时，如果选择的方法得当，将大大提高计算速度. 关键词：关键词：行初等变换 列初等变换 矩阵 特征向量 Abstract: Different from the thought of only considering to use row elementary Counterchange to request the eigenvector o
2、f matrix,this paper quotethe method of using “characteristic root and eigevector synchronously request solution”,and deduce the method ofusing “ier elementary counterchange to request the eigenvector”.They are deduced theoretically in the text.if the method of choice Properly when request the eigenv
3、ector of matrix will increases consumedly the calculation. Keywords:row elementary counterchange;tier elementary counterchange;matrix;eigenvector. 1 1、定义定义 定义定义 1 1 所谓数域 P 上矩阵的初等变换是指下列三种变换： 1） 以 P 中一个非零的数乘矩阵的某一行（列）. 2） 把矩阵的某一行（列）的 c 倍加到另一行（列） 3） 互换矩阵中两行（列）的位置. 定义定义 2 2 设 A 是数域 P 上线性变换， 如果对于数域 P 中一数，
4、 存在一个非零向量， 使得 A. 那么称为 A 的一个特征值，而称为属于特征值的一个特征向量. 定义定义 3 3 设 A 是数域 P 上一 n 阶矩阵，是一个文字.矩阵AE 的行列式 nnnn n n aaa aaa aaa AE 21 22221 11211 |称为 A 的特征多项式， 这是数 域 P 上的一个 n 次多项式. 定义定义 4 4 设向量组)1(,., 21 s s 不线性相关.即没有不全为零的数 s kkk,., 21 使 2 0. 2211 ss kkk就称为线性无关；或者说，向量 s ,., 21 称 为线性无关，如果由 0. 2211 ss kkk 可以推出 0. 21
5、 s kkk. 2 2、用行初等变换求矩阵的特征向量用行初等变换求矩阵的特征向量 此方法求 n 阶矩阵的特征向量，通常是解齐次线性方程0)(XAE，而解齐 次线性方程组一般是用行初等到变换.必要时变换列化系数为阶梯形 00 ,rnrr CE 然 后给自由变量一些赋值进而求解.具体求解步骤是： 1） 、在线性空间 V V 中取一组基，写出 A A 在这组基下的矩阵 A； 2） 、求出 A 的特征多项式 AE 在数域 P P 中全部的根，它们也就是线性变换 A A 的全部特征值； 3） 、把所求得的每一个特征值逐个代入方程组，对于每一个特征值解方程组，求 出一组基础解系，它们就是属于这个特征值的 n 个线性无关的特征向量在基 n ,., 21 下的坐标， 这样， 我们也求出了属于每个特征值的全部线性无关的特征 向量. 例1 设数域P P 上三维空间V V 内线性变换A A 关于基 321 , 的矩阵为A= 4 3 3 6 5 3 6 3 1 求 A A 的特征值与特征向量. 解 因为特征多项式为 f()=|E-A|= 466 353 331 = 2 )2(-4) 所以特征值是 1 =-2(两重)和2=4 求相应于 A A 的特征值 1 =-2 的特征向量 （ 1 E-A）= 6 3 3 6 3 3 6 3 3 0 0
