1、 关于一阶线性微分方程积分因子的求法 摘摘 要要：在学习微分方程过程中,总会遇到一些微分方程无从下手求解,但只要它转化为恰当 方程求解就变得简单,但转化时需要求解出积分因子,因此找出积分因子对解题具有重要意义. 从课本定义理论出发,归纳总结了有关积分因子的一些知识,详细讨论了它的一般求解方法; 并收集资料归纳出几种特殊类型微分方程积分因子的求法.文章介绍一些特定条件下微分方 程如何直接、 有效的计算积分因子,从而高效的求解的方法.同时简要说明了,在求解此类型题 目时的心得体会. 关键词：关键词：微分方程;恰当方程;积分因子 1. 引 言 常微分方程是数学科学联系实际的主要桥梁之一,其主要研究的
2、问题是对常微分方程的求解. 在常微分方程理论中,一阶微分方程的求解是整个微分方程求解的基础,一阶常微分方程一般 的有两种方法求解：一是以可变量分离方程为基础,通过适当的变量代换把一阶微分方程化 为可积型方程;另外就是以恰当微分方程为基础,采取积分因子法把一阶微分方程转化为恰当 微分方程求解.对于恰当微分方程我们有一个通用的求解公式.但是,就如大家都知道的,并不 是所有的一阶微分方程的都是恰当微分方程.对于这类不是恰当微分方程的一阶常微分方程 该如何求出它的解呢,这就需要用到这里我们讨论的积分因子了.而这种利用积分因子将方程 化为恰当微分方程进行求解的方法既灵活又难掌握,所以系统的研究积分因子的
3、求法很有必 要且是非常有意义的. 通过相关资料的查阅及分析,现有的教材对一阶微分方程积分因子的求法都仅局限于一些简 单的情况,介绍的求解方法都比较零散,对积分因子的求法没有一个系统全面的总结. 然而寻找积分因子不是容易的事情,一般的解题方法只介绍了依据个人经验或者通过观察 来寻找积分因子.但本文我通过了解积分因子的定义、讨论了积分因子存在的充要条件、判 断恰当微分方程充要条件以及求解积分因子的几种方法和给出了若干特殊类型的积分因子 的求法,来缩短我们求解一阶线性微分方程的时间.文章最后我通过实例来说明应用方法,文 章虽给出了一些以特殊类型的积分因子求解线性微分方程的方法,但是依然存在许多用以下
4、 方法难以解决的问题,还需要继续努力探索. 1.1恰当微分方程的定义1 若方程 0),(),(dyyxNdxyxM 的左端恰好是某个二元函数 ),(yxu 的全微分,则称上式式为恰当微分方程. 1.2 判断恰当微分方程的充要条件 若方程 0),(),(dyyxNdxyxM 分别对 xy, 求偏导数,以及 x N y M , 的连续性可得到 x N y M 是 0),(),(dyyxNdxyxM 为恰当微分方程的充要条件. 1.3积分因子的定义 若对于一阶微分方程 ,0Mxyd xNxyd y （ 1） 其中 ,Mx y , ,Nx y 在矩形域内是 ,x y 的连续函数,且有连续的一阶偏导数若
5、存在连续 可微的函数 ,0x y ,使得 ,0x yMx ydxx yNx ydy , 为一恰当方程,即存在函数V,使 M dxN dydV 则称 ,x y 为方程 （ 1）的积分因子 显然,此时 cyxV),( 是上式的通解,因而也就是方程 （ 1）的通解 1.4积分因子存在的充要条件 先假设对于方程 （ 1）,存在这样的连续可微函数 ,0x y 使得 ,0xyMxyd xxyNxyd y （ 2） 方程 （ 2）可变为 ,0xyMxyd xNxyd y 由于 ,0x y ,显然 （ 1）与（ 2）同解, 可得函数 ,x y 为 ,0Mx ydxNx ydy 的积分因子的充要条件为 ()() = MN yx 即 M() MN N xyyx （ 3） 但方程 （ 3）是个以 为未知数的一阶线性偏微分方程,要想通过解方程 （ 3）来求积分因子通 常很困难.但在若干特殊情形中，求 （ 3）的一个特解还是容易的，所以（ 3）也就提供了寻求 特殊形式的积分因子的一个途径. 2 求解积分因子的几种方法2 2.1 观察法求积分因子法 对于一些简单的微分方程,用观察就可以得出积分因子 例1 (1)0ydxxdy 有五种不同形式的积分因子 2 1 x , 2 1 y , 1 xy , 22 1 xy , 22 1 xy ; (2)0ydxxdy 的积分因子是： 1 () n xy , 作用到
