1、 1 求异面直线距离的几种方法求异面直线距离的几种方法 摘要 本论文分别借用向量方法，平行六面体的高，向量的射影，点到平面的距 离，两点间的距离和平行平面的距离，给出空间两异面直线的距离公式的方法 来总结了求异面直线之间距离的定义法，转化法，极值法，射影法等十种方 法。 关键词：关键词：异面直线； 异面直线之间的距离； 2 目目 录录 摘要 . 1 引言 . 1 1.定义法（直接法） . 1 2.转化法 . 2 2.1 转化为线面距离法 2 2.2 转化为面面距离法 3 3.极值法 . 3 4.射影法 . 4 5.公式法 . 5 6.平移法 . 7 7.垂面法 . 8 8.向量法 . 8 9.
2、行列式法 10 总结 12 参考文献 13 致谢 14 1 F H B A C D E 引言 求异面直线之间的距离是中学数学中的重要概念之一，也是空间距离问题 的难点，弄清异面直线距离的有关概念和性质是求异面直线距离的前提。求异 面直线之间的距离在中学数学中没有具体讲解，所以本论文利用定义法（直接 法） ，转化法，极值法，射影法，公式法，平移法，垂面法，向量法及行列式法 和实际例题来解决关于求异面直线之间的距离问题。 求异面直线间的是中学数学的一个难点，难就难在不知怎样找异面直线的 公垂线段，也不会将所求的问题进行转化。解答此类问题，主要的方法有将两 条异面直线的距离转化为直线与平面的距离，或
3、转化为平面与平面的距离，或 转化为一元二次函数的最值问题，或转化为用等体积的方法等来求解。 特点：即不平行也不相交，两直线永远不可能在同一平面内。 定义 和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公 垂线夹在异面直线间的部分叫做异面直线的公垂线段。两条异面直线的公垂线 段的长度叫做这两条异面直线的距离。 性质 1 任意两条异面直线有且只有一条公垂线。 性质 2 两条异面直线的公垂线段长（异面直线的距离）是分别连接两条 异面直线上两点线段中最短的长度 下面我将求两条异面直线的距离的几种方法作一归纳总结。 1.定义法（直接法） 定义法就是先作出这两条异面直线的公垂线段，然后求出公垂线
4、段长即异 面直线之间的距离。 例例 1： 如图所示，边长均为a的两个正方形 ABCD 和 CDEF 成 120 的二面角。求异面直线 CD 与 AE 间的距离。 解解：如图中，四边形 ABCD 与 CDEF 是正方形得, CDAD CDDE CD平面 AED 过点 D 作 DHAE，垂足为 H 又 CD平面 AED ，得 CDDH 又因为 DHAE，得 DH 是 CD 与 AE 的公垂线（异面直线 AE 2 与 CD 间的距离） 在ADE 中，ADE=120 ，AD=AE=a ，DHAE， 得 DH = 2 1 AD = 2 1 DE = 2 a 即异面直线 CD 与 AE 的距离为 2 a
5、； 2.转化法 转化法将两条异面直线的距离转化为直线与平面距离或转化为平面与平面的距离求解。 2.1 转化为线面距离法 线面距离法就是选择异面直线中的一条，过它作另一条直线的平行平面，因 此直线与平面的距离即为所求异面直线的距离。 例例 2 2.如图所示， 正方体ABCD- 1111 DCBA的棱长为a， 求异面直线BD与CB1 之间的距离。 解解：连接DBBDDC和, 因为 DBBD / 得CDBBD平面/ 而 CDBCB平面 从而BD与C B 的距离就是BD与平面CDB 的距离为 h； 用体积法， VV BCBDBCBB CDB BCBB hS V 3 1 32 6 1 2 1 . 3 1
6、 . 2 1 3 1 3 1 aaaBCBBDChS CDB BCBBV 因为2 CDDBCB，所以 CDB 是等边三角形 即 2 2 3 a S CDB 3 C C B D A D A B 从而 23 131 326 haa 得 3 3 ha； 2.2 转化为面面距离法 面面距离法就是所求异面直线的距离转化为求分别过两条异面直线的两个 平行的平面间的距离。 例例 3 3.如图所示， 正方体DCBAABCD的棱长为 1， 求异面直线CBBD 与 的距离。 解解：如图，分别连接CADBCDDABA, 因为CBBABDDB/,/ CBDCBBD平面,BDABDBA平面, 得平面/CDB平面BD A 且对角线CA 为两个平面的公垂 线，由体积法可以得出 A 到平面BD A 的距离等于 C
