1、 1 目目 录录 1 引言 . 2 2 泰勒级数 . 3 2.1 泰勒公式 3 2.2 泰勒级数 3 2.3 泰勒展开式 (幂级数展开式) 4 3 泰勒级数的应用 . 6 3.1 利用泰勒级数将非初等函数展开为幂级数的形式 6 3.2 近似计算 7 3.3 证明不等式 10 3.4 应用泰勒级数计算积分 10 参考文献 . 12 2 泰勒级数及其应用泰勒级数及其应用 （西北师范大学数学与统计学院 甘肃兰州 730070） 摘要摘要: 本文主要介绍了泰勒级数及其应用, 泰勒级数是一种常用的数学工具, 在很多 时候利用泰勒级数解题是非常方便的. 本文就是对泰勒级数及其应用的一些叙述,主要是对 泰勒
2、级数在初等函数展为幂级数、近似计算、证明不等式、计算积分等方面展开讨论. 关键词关键词: 泰勒公式;泰勒级数;泰勒展开式;近似;不等式;积分 中图分类号中图分类号: : O171 Taylor series and its applications Abstract: This thesis mainly introduces Taylor series and its applications. Taylor series is a kind of frequently-used mathematical tool, which makes it much more convenient t
3、o solve problems. In this thesis, Taylor series and its applications are discussed, which includes some use of Taylor series, referring to the expansion from non-elementary function to power series, approximate calculation, inequality proof, calculation of integral and so on. Keywords: Taylor formul
4、a; Taylor series; Taylor expansion; approximate; inequality; integral 1 1 引言引言 泰勒级数以在 1715 年发表了泰勒公式的英国数学家布鲁克泰勒来命名, 在数学分析中, 泰勒级数是利用无限项相加来表示一个函数, 这些相加的项由函 数在某一点的导数求得. 泰勒级数的相关知识不仅具有重大的理论意义, 而且具有广泛的实用价值. 它与泰勒公式有着密切的联系, 但也存在着一些实质性的区别, 因此, 在学习这 部分内容时, 应该明确地掌握泰勒公式和泰勒级数的相关定义. 就泰勒级数而言, 3 它对于一些非线性问题来说是一个很好的解题
5、工具. 利用它解题的主要思想是 将非线性问题线性化, 即将一些函数展开成它的泰勒级数, 然后利用所展开的泰 勒级数联系实际问题最终解决问题. 下面就对泰勒级数及其应用做一个简要的介绍. 2 2 泰勒级数泰勒级数 2.12.1 泰勒公式泰勒公式 若函数f在ba,上存在直至n阶的连续导函数, 在ba,内存在1n阶导函 数, 则对任意给定的 0 , xxba, 至少存在一点 0 , xx, 使得 ).( ! )( !2 )( )()()( 00 )(2 00 000 xR n xxxfxxxf xxxfxfxf n nn 1 则称 1为f在 0 x的泰勒公式. 其中, )!1( )( )( 1 0
6、)1( n xxf xR nn n 为 Lagrange 余 项. 2.22.2 泰勒级数泰勒级数 若在(1)中抹去余项)(xR n , 那么在 0 x附近f可用(1)式右边的多项式来近 似代替, 如果函数f在 0 xx 处存在任意阶的导数, 这时称形式为 ! )( !2 )( )()( 00 )(2 00 000 n xxxfxxxf xxxfxf nn 2 的级数为函数f在 0 x的泰勒级数. 在实际应用中, 我们更多的是讨论函数在0 0 x处的泰勒级数, 这时(2)式 可以写作 n n x n f x f x f f ! 0 2 0 ! 1 0 0 2 ！ , 称为麦克劳林级数. 例例 1 1 写出下列函数的麦克劳林级数 1 x1ln, 4 解解 因 xxf1ln, 00f,
