1、 毕业论文开题报告毕业论文开题报告 题 目：浅谈微分中值定理中的辅助函数 构造问题 院 系： 数学与统计学院 专 业： 数学与应用数学 班 级： 数学与应用数学 1 班 学 号： 姓 名： 指导教师姓名: 指导教师职称: 教授 教务处制 二一六年十月 毕业论文开题报告 题目 浅谈微分中值定理中辅助函数的构造问题 题目类型 理论研究 应用研究 设计开发 其他 命题来源 教师命题 学生自主命题 教师科研课题 拟完成时间 2017 年 4 月 20 日 一、选题依据及意义（不少于 300 字） 人们对微分中值定理的研究，大约经历了二百多年的时间，从费马 定理开始，经历了从特殊到一般，从直观到抽象，从
2、强条件到弱条件的 发展阶段。人们正是在这一发展的过程中，逐渐认识到微分中值定理的 普遍性。 函数与其导数是两个不同的的函数；而导数只是反映函数在一点的 局部特征；如果要了解函数在其定义域上的整体性态，就需要在导数及 函数间建立起联系，微分中值定理正是起到这种作用。微分中值定理， 包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理及泰勒公式，是沟通导数值与 函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的重要 工具。以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值 定理是一整个微分学的理论基础。拉格朗日中值定理，建立了函数值与 导数值之间的定量联系， 因而可用中值定理通过导数去研究函数的性态
3、； 中值定理的主要作用在于理论分析和证明。从而能把握住函数图象的各 种几何特征。因此，研究微分中值定理的应用与技巧，有着十分重要的 现实意义。 当一些复杂的问题不能用通常的思维去解决时，就要求我们用逆向 思维的同时借助辅助函数来解决问题。辅助函数法是数学分析中一个很 重要的方法。 通过构造辅助函数， 可以解决许多与中值定理相关的题目， 并且对解决其它问题也可以同样达到事半功倍的效果。 二、研究目标及主要内容（含论文设计提纲，不少于500 字） 1.研究目标 微分中值定理，是微分学的核心定理，是研究函数的重要工具，是 沟通函数与导数之间的重要桥梁，为了突出微分中值定理的核心作用， 突出其在实际应
4、用中的作用与技巧，论文主要对微分中值定理在证明题 中的几大类型进行探讨。微分中值定理微积分的重点及难点。通常都有 这样的感受：即使数学基础扎实的同学在做了大量的习题之后，如果没 有及时的总结归纳，依然会感到很困惑，总感到不能达到融会贯通。究 其原因，这当然与微分中值定理在微分学中的特殊地位有关，微分中值 定理是微积分的理论基础和核心，是构通导数与函数之间的桥梁。因其 灵活多变，在不同的区间需运用不同的中值定理，同时能与闭区间上的 函数性质相结合，有时需要构造辅助函数方能解题，而构造辅助函数的 方法同样灵活多变，因而考查的知识面相当广。 2.研究内容 本研究主要分为四个部分。其中，第一部分主要是
5、对一元微分中值 定理的四个主要定理及公式展开叙述，并运用了几何直观的图示表述了 它们之间的关系，这样更形象更直观地发现它们之间的区别和联系。第 二部分中，主要分析了涉及到四个定理的等式命题的证明问题，以及几 种特殊形式的等式。根据这些特殊复杂的问题，我们了解到构造辅助函 数是一种行之有效的方法。第三部分主要通过原函数法、首次积分法、K 值常数法、几何直观法及行列式法等五种方法对辅助函数的构造作了说 明。第四部分中，主要是对辅助函数法的一个延伸，对方程的根、正项 级数的敛散性、递推数列极限等方面进行讨论。 一方面，可以加深对用辅助函数法证明微分中值定理的理解，使我 们在理解辅助函数法的基础上，更
6、好的掌握该方法。另一方面，其它领 域也可以巧设辅助函数解决。 三、研究方法与手段 1.研究方法 （1）文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面正确地掌握 所要研究的问题的理论本质，研究思路与意义。 （2）定性分析法：在对所参考的文献中有价值的观点进行归纳、分 析和综合以及概括。 （3）向指导老师请教，向社会、学校多方面咨询询问意见，总结所 得结论进行论文的写作。 2.研究手段 在图书馆借阅相关书籍资料，仔细阅读分析。从网上查找一些相关 论文、期刊等，认真阅读理解。通过归纳总结，对一些比较典型的题目 进行分析，找到构造辅助函数的方法和技巧。 资料收集完毕，与指导老师交流讨论，梳清思路，整理资料。通过 老师的指导、改正，完成论文。 四、参考文献目录（作者、书名或论文题目，出版社或刊号，出版 时间或出版期号） 1华东师范大学数学系.数学分析上册M.4 版.北京:高等教育出版 社,2010:122-164 2闵兰,陈晓敏
