1、 1 摘摘 要要 在初等数学中，证明不等式的常用方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放 缩法、判别式法、换元法、数学归纳法等等，但是所用的都是初等数学知识。本文利 用高等数学中的有关知识，给出几种不等式的证明方法：单调性，辅助函数，凹凸性， 中值定理，最值、极值定理，泰勒公式，定积分性质，柯西施瓦茨。 关键词关键词 不等式 高等数学 中值定理 泰勒公式 柯西 施瓦茨 2 Abstract In the elementary mathematics, Common methods used on proof of inequality are comparation, synthesis, a
2、nalysis, negative approach, discriminant law, substitution of variables, mathematical induction and so on, All of them belong to elementary mathematics knowledge. In this article based on higher mathematics, Some methods to prove inequality have been given: monotonicity,auxiliary function, convex-co
3、ncave,value theorem,extreme value、extreme value theorem, taylor formula, definite integral,cauchy schwartz. Key words inequality higher mathematics value theorem taylor formula cauchy schwartz 3 目目 录录 1、引言1 2、利用函数的单调性证明不等式1 3、利用函数的凹凸性证明不等式2 4、利用拉格朗日中值定理证明不等式2 5、利用函数的最值、极值定理证明不等式3 6、利用泰勒公式证明不等式4 7、利用
4、定积分的性质证明不等式5 8、利用柯西不等式证明不等式5 参考文献6 4 浅议不等式的证明 1 引言 用不等号连接起来的两个解析式所成的式子叫不等式，证明不等式就是根据不等 式的性质证明对于式中字母所容许的数值，不等式恒成立不等式证明在中学里占有 重要的地位，是进一步学习数学的基础，例如在讨论方程或方程组的解中，研究函数 的定义域、值域、单调性、最值等问题中都要用到然而，不等式证明又是中学里的 一个重点、难点其特点是方法灵活多样，技巧性很强，这使得它成为高考中的一个 热门问题证明不等式的途径是对原不等式作代数变形，在初等数学中，常用的方法 有比较法、综合分析法、反证法、放缩法、数学归纳法、判别
5、式法、换元法等等然 而，现在高中课本中又增加了一些高等数学知识，我们思考能否用高等数学中的有关 知识来证明某些使用初等方法证明比较困难或暂时还无法证明的不等式，使之过程更 加简洁、易懂，答案是肯定的，因此讨论高等数学知识在某些初等数学不等式中的应 用是非常重要的，同时初等数学中的许多问题往往蕴含着高等数学中的一些方法，因 而将高等数学中的某些原理、方法应用于初等数学中的证明，不仅可以开拓学生的视 野，而且可以使学生体会到用高等数学的原理、方法解决初等数学问题时居高临下， 驾轻就熟的感觉，进而了解高等数学与初等数学密不可分的关系本文着重阐述了用 高等数学中的有关知识来证明某些初等不等式，使之用初等方法证明比较困难或暂时 还无法证明的不等式得到解决高等方法主要适用于中学里的函数不等式 2 利用函数、辅助函数的单调性证明不等式 2 2.1.1 函数单调性证明函数单调性证明 定理定理 1 11 若函数 f 在区间 ),(ba 内可导，则 f 在 ),(ba 内递增（递减）的充要条件 是 00xfxf ， ),(bax 不等式与函数有着密切的关系，因此，根据求证的不等式构造函数，利用函数的 单调性可巧证一些不等式，此方法尤其适用于中学里的函数不等式的证明 5 例例 2 2.1.1.1.1 证明：当 0x 时， )1ln( 2 2 x x x
