1、 1 求极限的方法求极限的方法 摘摘 要：要： 本文系统地介绍了利用两个重要极限、 无穷小量代换、 洛比达法则、 泰勒公式、定积分等求极限的方法，并结合具体的例子，指出了在解题过程中常 遇见的一些问题。 关键词：关键词：极限、方法、类型、洛比达法则、定积分 一一 引言引言 高等数学是以函数为研究对象，以极限理论和极限方法为基本方法，以微积 分学为主要内容的一门学科， 极限理论和极限方法在这门课程中占有极其重要的 地位。高等数学许多深层次的理论及其应用都是极限的延拓和深化，如连续、导 数、微积分等等都是由极限定义的，离开了极限的思想高等数学就失去了基础失 去了价值，因此极限运算是高等数学的基本运
2、算。由于极限定义的高度抽象使我 们很难用极限定义本身去求极限，又由于极限运算分布于整个高等数学的始终， 许多重要的概念是由极限定义的。极限知识是研究导数、各种积分、级数等的基 本工具。反过来，我们也可以利用这些概念来求一些极限，所以运算方法繁多。 针对这种情况，本文作者通过立体归纳总结出了如下常见的求极限的方法。 二二 具体方法具体方法 利用函数极限的四则运算法则来求极限 定理定理 1 ：若极限 )( lim 0 xf xx 和)( lim xg xx 都存在，则函数)( xf)( xg，)()(xgxf 当 0 xx 时也存在且 )()()()( limlimlim 0.00 xgxfxgx
3、f xxxxx )()()()( limlimlim 000 xgxfxgxf xxxxxx 又若0)( lim 0 xg xx ，则 )( )( xg xf 在 0 xx 时也存在，且有 )( )( )( )( lim lim lim 0 0 0 xg xf xg xf xx xx xx 利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所 2 给的变量都不满足这个条件，如 、 0 0 等情况，都不能直接用四则运算法则， 必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌 握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。 例 1：求 2 4 2 2 lim x x x
4、解：原式= 02 2 22 limlim 22 x x xx xx 用两个重要的极限来求函数的极限 利用1 sin lim 0 x x x 来求极限 1 sin lim 0 x x x 的扩展形为： 令 0xg，当 0 xx 或x时，则有 1 sin lim 0 xg xg xx 或 1 sin lim xg xg x 例 2： x x x sin lim 解：令 t=x.则 sinx=sin( t)=sint, 且当x时0t 故 1 sinsin limlim 0 t t x x tx 例 3：求 1 1sin 2 1 lim x x x 解：原式= 2 1 1sin 1 11 1sin1
5、2 2 1 2 1 limlim x x x xx xx xx 利用e x x ) 1 1( lim 来求极限 e x x ) 1 1( lim 的 另 一 种 形 式 为e 1 0 )1( lim . 事 实 上 ， 令 3 . 1 x x.0所以 x x x e) 1 1( lim e 1 0 )1( lim 例 4: 求 x x x 1 0 )21( lim 的极限 解：原式= 2 2 1 2 1 0 )21()21( lim exx xx x 利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形 式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。 一 般常用的方法是换元法和配指数法。 利用等价无穷小量代换来求极限 所谓等价无穷小量即.1 )( )( lim 0 xg xf xx 称)( xf与)( xg是 0 xx 时的等价无穷 小量，记作)( xf)(xg.)( 0 xx . 定理定理 2 2 ：设函数 )(),(),(xhxgxf在)( 0 0 xu内有定义， 且有)( xf)(xg.)( 0 xx 若,)()( lim 0 Axgxf xx 则Axhxg
