1、 第 1 页 构造法在解题中的应用构造法在解题中的应用 摘要摘要：构造法作为数学解题的一种重要的思想方法，它最大的特点是创造性地使用已知条件；实质就 是依据某些数学问题的条件或结论所具有的典型特征，用已知条件中的元素为“元件” ，用已知的数学关 系为“支架” ，在思维中构造出一种相关的数学对象，一种新的数学形式。构造法的内涵十分丰富并且没 有完全固定的模式可以套用，它是以广泛的普遍性和特殊性的实际问题为基础，针对具体问题所呈现出的 特点而采取相应的解决问题的办法，在数学解题尤其是高等数学解题中有着极其广泛的应用。本文主要基 于构造法的相关理论探讨它在解决数学分析、代数、几何、三角函数等高等数学
2、问题中的应用。 关键词：关键词：构造法；解题；应用. 0 0 引引言言:在数学解题过程中，若按习惯性定势思维去探求解题途径比较困难时，我们可以根 据题目特点，展开丰富的联想拓宽自己的思维范围。所谓“构造法”就是根据题设的特点， 用已知条件中的元素和关系式构造一种新的数学形式，如方程，函数，图形等，以找到一条 绕过障碍的新途径，从而使问题得到解决的这样一种方法。 构造法作为数学的一种重要的思想方法，它的最大特点是创造性地使用已知条件。构造 法的内涵十分丰富并且没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛的普遍性和特殊性的实际 问题为基础，针对具体问题所呈现出的特点而采取相应的解决问题的办法，在数学解题
3、尤其 是高等数学解题中具有广泛的应用。 本文主要基于构造法的相关理论探讨它在解决数学分析、 几何、代数、三角函数等高等数学问题中的应用。 用构造法处理问题时， “构造物”的表现形式是多种多样的：有的是沟通问题条件和结论 的 “辅助元素” ； 有的是问题结论所叙述的数学对象； 有的是从问题的结论出发， 从而得出 “矛 盾” 。因此，构造法在求解数学分析、代数、几何、三角函数的问题中有着广泛的应用。 在对数学问题进行分析和转化的过程中，为使问题的条件和结论能互相衔接起来，常常 需要添加一些题目所给的以外的其它数学对象才能达到目的，这些已知条件以外的数学对象 就是我们需要构造的辅助元素。在解决高等数
4、学问题时，通过构造辅助元素而获解的问题极 为普遍，常见的有构造函数、构造级数、构造积分式、构造图形、构造复数、构造代数式、 构造辅助线等。 1 1 构造法在解决数学分析问题中的应用构造法在解决数学分析问题中的应用 第 2 页 1.11.1 构造函数构造函数 函数在我们整个中学数学中占有相当重要的地位,学生对于函数的性质也比较熟悉。 选择 熟悉的内容来解决高等数学中的问题,既可以训练人的思维,同时也增强了思维的灵活性、开 拓性和创造性。所谓的构造函数指的是由问题的条件及所给的数量关系为对象，构想、组合 一种新的关系，使问题在新的关系下实现转化而获得解决。构造函数是比较抽象的构造性思 维，除对问题
5、条件特点分析之外，还要求熟悉典型的函数及其特性。 在数学分析（上册 第三版 华东师范大学数学系 编）教材中，拉格朗日中值定理的证明 就是典型的构造函数的例子： 例例 1 1.若函数()fx满足如下条件： （1）f在闭区间,a b上连续； （2）f在开区间,a b上可导； 则在开区间,a b内至少存在一点，使得 ( )() () fbfa f ba . 证证 不难看到，当()()fbfa时，拉格朗日定理就成为了罗尔定理，也就是说罗尔定理 是拉格朗日定理的特殊情况。为了应用特殊的罗尔定理证明一般的拉格朗日定理，需要作一 个辅助函数()Fx，使它满足罗尔定理的条件，由平面解析几何知，通过两点,()A
6、afa与 ,( )Bbfb的割线方程是 ( )() ()() fbfa yfaxa ba 设辅助函数()Fx是函数()fx与割线AB的方程之差，即 ( )() ()()()() fbfa Fxfxfaxa ba 不难验证()Fx在,a b上满足罗尔定理的条件，也就是说在,a b里存在一点，使得 ( )() ()()0 fbfa Ff ba 从而有 ( )() () fbfa f ba . 故得证。 上例中的()Fx就是构造出来的辅助函数，利用它可以运用罗尔定理使拉格朗日中值定理 得到直观而有效的证明。 理解和掌握函数的思想方法有助于实现数学从常量到变量的这个认识上的飞跃。很多数 学命题繁冗复杂，难寻入口，若巧妙运用函数思想，能使解答别具一格，耐人寻味。 第 3 页 1.21.2 构造级数构造级数 级数与函数、数列、导数、积分等诸多知识密切地联系在一起。根据问题条件中的数
