1、 数学归纳法的发展及其在数学中的应用 摘摘 要：要：在数学论证中，数学归纳法是一种常用的数学方法，用途很广，对于某 些结论是自然数的函数命题，往往都可以通过数学归纳法来加以证明。本文叙述 了数学归纳法名称的发展，数学归纳法内容的发展，并分别从良序原理、数学归 纳法、第二数学归纳法、数学归纳法的有效性这四个方面对数学归纳法的原理做 了介绍，都有相关的例子，能帮助读者深入的理解数学归纳法的原理。本文也列 举了几种常见的数学归纳法的形式，如第一数学归纳法、第二数学归纳法、倒推 归纳法、螺旋式归纳法。在了解数学归纳在数学中的应用后，本文重点叙述了数 学归纳法在证明恒等式、证明不等式、证明整除问题、证明
2、几何问题、探索与正 整数有关的问题中的具体应用过程。通过本文，能使读者更加深入的了解数学归 纳法，并且能更好的运用数学归纳法解决数学学科中的一些问题。 关键词：关键词：数学归纳法 发展 原理 应用 一、 数学归纳法的发展 （一）数学归纳法名称的发展 “数学归纳法”名称是由英国数学家创立, 并由英国教科书作者普遍采用 推广。 在名称上迈出重要一步的是英国数学家德摩根。1838 年在伦敦出版的 小百科全书中，德摩根在他的条目“归纳法里建议使用“逐收归纳法”。但 在该条目的最后他偶然地使用了术语数学归纳法 ， 这是我们所能看到这一术语 的最早使用。 无论是毛罗利科还是帕斯卡，也无论是伯努利还是其后的
3、数学家们，虽然都 在不断地使用数学归纳法，但在很长的时期内并授有给他们的方法以任何名称。 只是由于沃利斯以及雅各布 伯努利的工作，才引进了“归纳法”这一名称。并 在两种截然不同的意义上应用于数学： (1)以特此获得一般结论的沃利斯方式 (2) 指定的步骤论证，并且影响了其后的数学家们，使这种混用状态大约持续了 140 年。到 l9 世纪上半叶，英国的数学家皮科克在他的代数学的排列与组合部 分，谈到梅成的规律用归纳法延伸到任意数，是从预攫 f 意义上以沃利斯方式使 用归纳法的。后来，他又将从“到 R+1 的论证称之为证明归纳法。 皮科克和德摩根的名称后来为英国数学家托德亨特的代数(1866 年第
4、 4 版)所采用并因而得到广泛传播。他在该书中介绍这种证明方法时，使用了两个 名称 “数学归纳法”和“证明归纳法”，但该章的题目却用的是前者。 这两个名称后来又为英国逻辑学家杰文斯以及菲科林所使用， 后者宣称是受 惠于托德亨特。随着时间的推移，后来的通用教科书的作者们，如英国教育家、 数学家克里斯托(chrysta11851-1911)的代数第 2 卷以及霍尔(HSHal1) 和纳特(s R KmgM)台著的 代数 (1898)、 奥尔迪斯的代数教科书(Textbook 0f Algebra1887)等都只用数学归纳法而不再使用“证明归纳法”。 （二）数学归纳法的历史 1.数学归纳法最早的使用
5、 数学归纳法是数学中一种重要的证明方法，从普通不严密的“归纳法”到精 确的“数学归纳法”，再到更一般的“超穷归纳法”、“连续归纳法”等，数学 归纳法已经有两千多年的历史了。 数学归纳法最早可以在印度和古希腊时代的著作中找到丝缕痕迹， 如印度婆 什迦罗的“循环方法”和欧几里德素数无限的证明中都可以找到这种踪迹。李文 林翻译的美国数学史教授 VJKatz在数学史通论中表明，十四世纪法国数 学家、物理学家和工程师莱维本热尔森（Levi ben Gerson，12881344）在其 1321 年出版的代表作计算技术中已经“本质上使用了数学归纳法”，更有 资料表明，在中世纪伊斯兰数学中就已经较清楚、广泛
6、地使用了数学归纳法的归 纳推理。 2.莫洛里科斯解开数学归纳法之谜 但真正比较明确使用数学归纳法的是意大利数学家、物理天文学家和工程师 莫洛里科斯（F. Maurolycus, 1494- 1575），但他也未对数学归纳法证明中的奠基 和归纳推理这两个步骤进行明确的描述。 他只是利用递推关系巧妙的证明出证明 了前 n 个奇数的总和是 n2，由此揭开了数学归纳法之谜。 最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当 n属于所有自然数时一个表 达式成立，这种方法是由下面两步组成: 递推的基础: 证明当 n = 1 时表达式成立。 递推的依据: 证明如果当 n = m 时成立，那么当 n = m + 1 时同样成立。 这种方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的， 然后证明一个 值到下一个值的证明过程是有效的。如果这两步都被证明了，那么任何一个值的 证明都可以被包含在重复不断进行的过程中。 或许想成多米诺效应更容易理解一些， 如果你有一排很长的直立着的多米诺 骨牌那么如果你可以确定： 第一张骨牌将要倒下， 只要某一个骨牌倒了， 与他
