1、 计算方法计算方法课程设计报告课程设计报告 学生姓名学生姓名: 学学 号：号： 学学 院院: 班班 级级: 题题 目目: 勒让德多项式做 最小二乘基函数的拟合方法 指导教师：指导教师： 职称职称： 2013 年 12 月 30 日 -I- 目 录 目 录 I 一、选题背景 - 1 - 1.1 最小二乘法的历史背景 - 1 - 1.2 最小二乘法的数学意义 - 1 - 1.3 最小二乘法的实际运用 - 1 - 二、算法设计 - 2 - 2.1 勒让德多项式及其递推公式 - 2 - 2.2 最小二乘基函数拟合方法及其计算. - 2 - 2.3 数据归一化预处理 - 3 - 三、程序及功能说明. -
2、 4 - 3.1 程序计算步骤 . - 4 - 3.2 程序功能及用法 - 4 - 四、结果分析 - 5 - 4.1 范例及计算结果 - 5 - 4.2 误差分析 - 11 - 五、总结及心得体会 - 12 - 参考文献 . 13 源程序 . 14 - 1 - 一、选题背景 1.1 最小二乘法的历史背景 关于最小二乘法的发明权，在数学史的研究中尚未定论。有材料表明高斯和勒让德分 别独立地提出这种方法。勒让德是在1805年第一次公开发表关于最小二乘法的论文，这时 高斯指出，他早在1795年之前就使用了这种方法。但数学史研究者只找到了高斯约在1803 年之前使用了这种方法的证据。 1.2 最小二乘
3、法的数学意义 最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和寻 找数据的最佳函数匹配，利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的 数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合，其他一些优化 问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。 在运筹学、统计学、逼近论和控制论中，最小二乘法都是很重要的求解方法。例如， 它是统计学中估计回归参数的最基本方法。 1.3 最小二乘法的实际运用 在实际问题中，怎样由测量的数据设计和确定“最贴近”的拟合曲线？关键在选择适当 的拟合曲线类型，有时根据专业知识和工作经验即可确定拟合曲线类型；在对拟合
4、曲线一 无所知的情况下，不妨先绘制数据的粗略图形，或许从中观测出拟合曲线的类型；更一般 地，对数据进行多种曲线类型的拟合，并计算均方误差，用数学实验的方法找出在最小二 乘法意义下的误差最小的拟合函数。 - 2 - 二、算法设计 2.1 勒让德多项式及其递推公式 勒让德多项式是由勒让德方程的通解推导出来的，所以我们首先引入勒让德方程，以 及勒让德方程的幂级数解，勒让德方程的表达式如下： 0)1(2)1( 2 ynnxyyx，其中n为非负实数 （2.1） 它的幂级数解如下： 21 yyy （2.2） 其中： !4 )3)(1)(2( !2 )1( 1 42 0 0 2 21 x nnnn x nn
5、 axay k k k （2.3） !5 )4)(2)(3)(1( !3 )2)(1( 53 1 0 12 122 x nnnn x nn xaxay k k k （2.4） 当n为非负整数时， 1 y和 2 y中有一个是n阶勒让德多项式，而另一个是无穷级数，记 作)(xQ n ，称为第二类勒让德函数，此时方程（2.1）通解为： )()( 21 xQcxPcy nn （2.5） 特别当5,4,3,2,1 ,0n时，得： 0( ) 1Px 1( ) Pxx 2 2 1 ()(31) 2 Pxx 3 3 1 ()(53) 2 Pxxx 42 4 1 ()(35303) 8 Pxxx 53 5 1
6、()(637015) 8 Pxxxx 推导可得出勒让德多项式的递推公式 11 (1)( )(21)( )( )0 nnn nPxnxPxnPx （2.6） 由)( 0 xP，)( 1 xP可以推出)( 2 xP，由)( 1 xP，)( 2 xP可以推出)( 3 xP，依次类推，理论上可 迭代得到任意)(xPn。 2.2 最小二乘基函数拟合方法及其计算 用最小二乘法求拟合曲线时，首先确定拟合曲线函数)( xS的一般表达式，)( xS的一般 表达式为 - 3 - )()()()( 1100 xaxaxaxS nn （2.7） 若)(x k 是 k 次多项式，)( xS就是 n 次多项式，为了使问题的提法更有一般性，通常 在最小二乘法中考虑加权平方和 m i iii yxSx 0 2 2 2 )()(
