1、泰勒公式及其应用的文献综述 摘要摘要 近年来，随着计算机和通信技术的迅猛发展，利用计算机进行近似计算，已成为科学研 究和工程设计中不可缺少的一个重要环节， 在自然科学和工程技术等众多领域中应用十分广 泛。 即是说近似计算方法已经成为了一种非常重要的科学研究方法。 泰勒公式是一个多项式 的拟合问题，而多项式是一种简单函数，它的研究对我们来说是相对比较轻松的，也是比较 方便的，特别是对计算机编程计算极为方便。本文将以实际例子为出发点，论述泰勒公式在 极限运算、 判断广义积分及级数的敛散性、 近似计算、 不等式证明、 界的估计、 行列式计算、 中值公式的证明、微分方程求解等八个方面的实际应用。 关键
2、词：关键词：泰勒公式；微积分；函数；极限 一引言一引言 泰勒公式在数学分析中有着十分重要的地位， 它的理论方法已成为研究函数 极限和估计误差等方面不可或缺的工具。它将微积分“逼近法”的精髓体现得淋 漓尽致，在近似计算方面有着得天独厚的优势。它可以帮助我们将复杂问题简单 化，也可以将非线性问题化为线性问题，而且在精确度方面也能满足相当高的要 求。它是微积分中值定理的推广，也是应用高阶导数研究函数形态的重要工具 6。泰勒公式在微积分的各个领域都有着重要的应用，并且它“化繁为简”的 功能对数学领域的研究也能起到很大的作用。因此，研究泰勒公式在实际数学问 题中的应用是非常有必要的。 二泰勒公式的定义及
3、表达式二泰勒公式的定义及表达式 设 n 是一个正整数。如果定义在一个包含 a 的区间上的函数 f 在 a 点处 n+1 次可导，那么对于这个区间上的任意 x，都有： ( 2 )(n) 2 (a)(a)(a) (x)(a)(xa)(xa).(xa)(x) 1!2 ! n n fff ffR n =+-+-+-+ 其中的多项式称为函数在 a 处的泰勒展开式，剩余的(x) n R是泰勒公式的余 项，是(xa) n -的高阶无穷小。 三泰勒公式的研究背景泰勒公式的研究背景 在数学史上，泰勒公式起源于牛顿插值的有限差分法。在1715年泰勒出版的 增量法及其逆 一书中载有现在微积分教程中以他的名字命名的一
4、元函数的幂 级数展开公式3。这是他当时通过对格雷戈里牛顿插值公式求极限所得到的。 一百多年后，柯西对无穷级数的收敛性给出了一个严格的证明。1755年，欧拉将 泰勒级数应用于他的“微分学” ，于是他才认识到泰勒级数的价值。后来拉格朗 日用带余项的级数作为其函数理论的基础，进一步确认了泰勒级数的重要地位。 泰勒也以函数的泰勒展开而闻名于后世。泰勒公式集中体现了微积分“逼近法” 的精髓，可广泛应用于众多数学问题，关于它的研究有很重要的现实意义。 对于泰勒公式的证明与应用的研究对于科研者来说一直具有强大的吸引 力， 许多研究者已在此方面获得了许多研究成果。例如：湖南科技学院数学系 的唐仁献 在文章泰勒
5、公式的新证明及其推广2中在推广了罗尔定理的基础 上重新证明了泰勒公式；洛阳工业高等专科校计算机系张永胜、王素芳、陶容等 三人在文章 泰 勒公式在及证明中的应用中研究了泰勒公式在极限运算、等 式证明、不等式证明中的应用，解决了用其它方法较难解决的问题。与此类似的 研究成果还有许多，例如湖北师范学院数学系的陈琴、蔡泽林二人所著的定积 分不等式的几种典型证法和潍坊高等专科学校的陈晓萌所著的泰勒公式在不 等式中的应用等等。 在2002年到2012年的十年时间里，以“泰勒公式”和“泰勒公式的应用”为 关键词，在中国知网以及万方数据等数据库中共能搜索到30余篇文章。在这些文 献中作者在不等式或者等式的计算
6、证明或者计算时都充分利用了泰勒公式及其 性质，但方法新颖又恰到好处，值得借鉴和学习。泰勒公式在数学领域的多个方 面有着重要的、广泛的应用，研究者们对于泰勒公式的研究从未停止，我相信在 广大研究者的不懈努力下，泰勒公式一定能散发出更多的光彩。 四泰勒公式的应用四泰勒公式的应用 泰勒公式在微积分的各个领域都有着重要的应用，例如： 1.极限运算7 例1 求 2 2 4 0 cos lim x x xe x - - 解：这是一个 0 0 待定型的极限问题，若用洛必达法则，分子分母需求导4次。 而若用泰勒公式来解，则要简单得多。 2 2 4 0 cos lim x x xe x - - 2422 44 4 0 1 1(x )1()()(x ) 2 !4 !22 !2 lim x xxxx oo x -+-+ -+-+ = 44 4 0 1 (x ) 1 12 lim 12 x xo x -+ = - 2.判断广义积分及级数的敛散性5 例2 设 f(x)在点 x=0的某一邻域内具有二阶连续导数，且
