1、 课 程 设 计 说 明 书课 程 设 计 说 明 书 课程名称: 数值计算与算法设计数值计算与算法设计课程设计课程设计 题 目: 导弹追踪微分方程模型的数值解法导弹追踪微分方程模型的数值解法 院 系： 理学院理学院 专业班级： 学 号： 学生姓名： 指导教师： 2008 年 7 月 11 日 1 课程设计任务书课程设计任务书 学 号 姓名 专业班级 设计题目 导弹追踪微分方程模型的数值解法 任务起至时间 2008 年 7 月 6 日至 2008 年 7 月 11 日 设 计 要 求 及 任 务 总 述 1. 逐步掌握用微积分和微分方程知识建立微分方程模型的技能； 2. 进一步熟悉解微分方程的
2、 Euler 方法、改进的 Euler 方法和 Runge- Kutta 方法； 3. 提高应用编程工具和数学软件实现数值算法的能力。 工 作 计 划 及 安 排 7 月 6 日 问题分析 7 月 7 日7 月 8 日 模型建立与算法设计 7 月 9 日7 月 10 日 程序的编制与调试 7 月 11 日 结果分析、撰写设计报告 参 考 资 料 1 关治, 陆金甫. 数值分析基础, 高等教育出版社, 北京, 2002. 2 李庆扬, 王能超, 易大义. 数值分析, 华中科大出版社, 武汉, 2005. 3 王高雄, 周之铭. 常微分方程, 高等教育出版社, 北京, 2006. 4 何青, 王丽
3、芬. Maple 教程, 科学出版社, 北京, 2006. 指导教师签字 系主任签字 2008 年 7 月 6 日 目目 录录 一、问题及分析 1 二、模型的建立 1 三、算法的设计 3 1、解析方法 3 2、数值方法 4 3、仿真方法 5 四、程序及结果分析 8 1、解析方法 8 2、数值方法 8 3、仿真方法 10 设计总结 13 参考文献 14 1 导弹追踪问题及其求解导弹追踪问题及其求解 一、问题及分析一、问题及分析 某军导弹基地发现正北方向120km处海面上有敌舰一艘以90km/h的速度向 正东方向行驶。该导弹基地立即发射一枚导弹跟踪追击敌舰，导弹速度为 450km/h，自动导航系统
4、使导弹在任一时刻都能对准敌舰。试问导弹在何时何处 击中敌舰？ 二、模型的建立二、模型的建立 如图建立坐标系，取导弹基地为原点)0,0(O，x轴指向正东方，y轴指向正 北方。 当0t时，导弹位于点O，敌舰位于点),0(HA，其中kmH120。设导弹 在t时刻的位置为)(),(tytxP，由题意 2 1 22 v dt dy dt dx (1) 其中hkmv/450 1 。 在t时刻，敌舰位于),( 2 HtvM处，其中hkmv/90 1 。由于导弹轨迹的切线 方向必须指向敌舰，即直线 PM 的方向就是导弹轨迹上点 P 的切线方向，故有 xtv yH dx dy 2 或 xtv yH dt dx
5、dt dy 2 (2) 方程(1)、(2)连同初值条件 0)0(,0)0(yx (3) 构成了一个关于时间变量t的一阶常微分方程组的初值问题。 2 为了获得x与y的关系，要设法消去变量t，由(2)式得 xtv dy dx yH 2 )( 两边对t求导得 dt dx v dt dy dy dx dt dy dy xd yH 2 2 2 )(，即 2 2 2 )(v dt dy dy xd yH 将上式与(1)式合并，再加上初值条件，则得如下初值问题 0 0 1 0 0 1 2 2 2 2 y y dy dx x v v dy xd dy dx yH 这就是导弹轨迹的数学模型。 3 三、算法的设计三、算法的设计 1、解析方法、解析方法 模型中的二阶方程可以降阶。令 dy dx p ，记 1 2 v v ， 则方程可降为一阶可分离变量方程 yH p dy dp 2 1 即 yH yHd p dp )( 1 2 易得 2 1)(ppCyH 由初值条件0 0y p，得 HC，从而 2 1pp yH H 注意到上式可改写为 2 1pp H yH 于是有
