1、 1 摘要摘要：导函数与原函数是由产生方式不同而给予不同定义的同一种数学工具，在数 学的分析研究和解题中都有着不可替代的重要作用。在本文中，首先，对导函数、原 函数的定名做了说明；接着介绍了导函数的几个性质（连续性，间断点性质等），使 读者认识到导函数之于一般函数的特殊性； 随后， 简单了解了一些函数性质 （奇偶性， 周期性等）在导函数和原函数之间的交互情况；最后，由导函数出发，讨论了函数可 积性与原函数存在性之间的关系。这些都是在解题与分析中十分重要的数学内容，这 里只做简单的说明，以为深入的学习和探讨做打下基础。 关键字关键字：导函数，原函数，可积性。 1 1 引言引言：导函数，顾名思义是
2、以函数的导数来定义的函数。导数的直接反应则是用 以描述函数的变化情况（随自变量运动所反映的因变量的运动快慢）。导函数定义的 定向性（以特定的函数而对应得到），决定了它在数学分析研究中的重要作用。导函 数的应用，使得函数的的变化情况（快慢，程度）得以量化分析，并且这个度量又以 函数的形式来表现，从而又可以抽象出通用特征来分析，使得函数的能量进一步的提 升和增强。 利用函数将显示模型抽象出来的基础上又得以利用函数这一数学工具本身 来对这一抽象模型进行深入研究和分析，易见，对导函数的深入学习和研究，不论是 对于我们解决理论与实际问题还是锻炼我们的学习思维能力都是大有益处的。 2 2 导函数的定义导函
3、数的定义 1 导数的出现是为对函数变化性质进行描述，可巧妙的是，以导数关系作为对应关系 时其本身又能作为一个函数来考察。 定义 若函数F(x)在区间I上处处可导,xI,令F(x)=f(x) (对区间端点， 仅考虑相应的单侧导数)，则称 f(x)为I上F(x)的导函数。 定义 若函数f(x)与F(x)在区间I上都有定义，若F(x)=f(x)，xI，则称 F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数。 伴随着导函数的定义，与之相对应函数则被称为“原函数”。 3 3 导函数的性质导函数的性质 2 函数F(x)的导数(记为 f(x),f(x)仍然是一个函数，可以将它作为通常的函数来 对待。但是导函数还有许
4、多特殊的性质，常常被人们忽视。 3.13.1 原函数存在定理原函数存在定理： 若f在a,b上连续： 则由式子g(x)=( ) x a ft dt ，xa,b 所定义的函数 g（x）在a,b上处处可导，且g(x)在a,b上是f(x)的一个原函数。 这个定理也说明了：在区间a,b上连续函数必是某函数的导函数（亦即连续函数必 有原函数）。 3.23.2 函数的介值性 （达布定理）函数的介值性 （达布定理） ： 设函数f(x)在区间I上有定义， 对任意的a,b I,c为介于f(a)与f(b)之间的任何实数(f(a)f(b)，若至少 存在一点(a,b)使得f()=c，则称f(x)在区间I上有介值性。 导
5、函数在其定义域内要么连续要么在导数值上下（不离开导数值）震荡（在介绍 导函数间断点是将具体讲述） ，因此，不论导函数连续与否，其值都将充满导函数值 域区间，此即不受连续限制的介值性。 对于导函数的介值性要注意导函数介值不需要连续，对于一般函数来说，在某点 的极限存在并不意味着在该点连续， 还有可能在该点函数无定义或函数值不等于极限 值。但对于导函数来说，不会发生这种情况，极限存在即意味着连续。 3.3 3.3 导函数极限存在与连续的关系：导函数极限存在与连续的关系：设函数f(x)在x=x。处连续。若x。点的 某邻域内除x。外导数f(x)均存在，且有极限lim xx f(x)=c，则函数在x。点
6、必可导， 并且f(x。)= lim xx f（x） 由微分中值定理可证得该结论正确，即对于导函数来 说，有：极限存在即是连续。这是一般函数所不具有的特性。 关于导函数的间断点也有其特殊的性质，对于其间断点的研究有助于解决和证明 导函数连续以及函数可积等一类问题 3.43.4导函数不具有第一类间断点导函数不具有第一类间断点：若F(x)在(a,b)上处处可导，即F(x)的导函 数为f(x),则有：f(x)不具有第一类间断点，即对x。(a,b),若x。为间断点，则 必是第二类（振荡）间断点。 处处可导的函数若不在连续，就在的附近振荡。 3 3.53.5 对于处处可导函数的导函数对于处处可导函数的导函数有两个很好的性质：有两个很好的性质： 3.53.5.1.1 导函数在一点处有极限，则其在该点必连续，若无极限则该点两侧或单 侧越振荡； 3.53.5.2.2 可能有不连续点的导函数，其介值定理仍成立。 由此又可得出有关原函数的三个推论 3.53.5.3.3 当时，则导数存在且连续。 3.53.5.
