1、 1 运用概率统计理论求极限 数学与应用数学 专业 学生 苏兆通 指导教师 王绍锋 摘要 ： 文章对概率统计极限理论展开讨论，分析了利用概率统计方法在极限求取问题时可取得比较好的效 果，分别用大数定律、强大数定律、中心极限定理、母函数理论进行极限的求取 . 另外，文章还介绍了在数列极限求取中，建立概率随机模型的方法，并一一列举实例进行验证 . 关键词： 概率统计极限理论 中心极限定理 母函数 强大数定律 Applying the theory of probability and statistics to the limit Student majoring in mathematics a
2、nd applied aathematics Su Zhaotong Tutor Wang Shaofeng Abstract： In this paper， the limit theory of probability and statistics discussion and analysis of the probability of statistical methods used in mathematics to obtain the limit problem can be achieved relatively good results， respectively， the
3、central limit theorem， and strong law of large numbers theory and generating functions limit the strike， another， also introduced in the series， struck in the limit， the probability of stochastic model to establish the method， and provide examples for authentication one by one. Key words： probabilit
4、y and statistics； central limit theory； generating functions； theory of strong law of large numbers 引言 概率统计极限理论是近年来数学研究领域的一个热点问题，也是概率统计学科中的一 个主要的分支，而且是概率统计学科知识用于其他分支的重要支撑点，比如在生物信息学领域、计量经济学领域和金融经济学领域等，是一种工程技术所需要的非常重要的工具和理论基础 . 在国内，关于概率统计极限理论的研究要数浙江大学下属的概率统计专业了，作为国内概率统计极限理论十分重要的研究实验室，它不但为国家培养了概率统计专业领域
5、里的大量人才，也使我国此领域的学术研究在国际上占有一席之地，并拥有了较好的成绩和声誉 . 从最近几年来看，概率统计极限理论的发展十分的迅速，特别是基于多学科之间的交叉互补思想，目前其它的理论学科也在 努力的和一些应用学科领域建立某种程度上的联系和交叉，概率统计学科在这种大潮中当然不能排除在外，而这样也加速了概率统计学科的突飞猛进的发展 . 所以，此领域的研究方向和研究方法也随着变得更加的日新月异 . 文章的主题内容是概率中的极限理论，特别举出几个实际例子来分析这种集两种学科内容于一身的理论的实用性和可行性，最后对概率统计极限理论的未来发展前景也有所涉及 . 2 1 概率统计极限理论目前进展和前
6、沿的发展 斯坦福大学和浙江大学在自正则化极限理论及其应用方面已经有了比较系统的结果或结论，我们在此进行简单的介绍，这些理 论主要包括了下面几个部分：自正则化Cramer 定理、自正则化鞍点逼近、自正则化重对数律、自正则化随机过程的指数不等式和没有矩条件下的自正则化大偏差等这一类领域的研究成果 . 基于已经较为成熟 Stein Chen 方法，现在已经有一部分学者 Stein 恒等式和 Stein Chen 方法如何应用在正态逼近中开始尝试着进行探讨 . 比如，从下面的几位院士对这一领域的最新研究近况来看：马志明院士研究了估计无线传感网络中的覆盖概率问题，并重点研究了如何利用 Stein Che
7、n 方法来对收敛速度进行估计；又如，严加安院士在两类空间 的基础上，研究了泛函表示定理是如何有效的应用在估计金融风险问题上的；还有陈木法院士对于中心极限定理的研究，他指出在不同的意义下以收敛速度的角度作为切入点，研究了连续 Markov过程涉及的收敛速度及相关应用问题 . 就目前概率统计极限理论的研究，在很大的程度上，强调了与其他学科的有机结合与交叉 . 如文章所讲的内容，是用在数学中的极限求取问题上的，这种结合对问题的解决是有一定帮助的 . 这种结合势必会牵涉到概率统计理论的一些重要理论分支，比如，时间序列、随机过程和风险理论等，这种各个领域理论的交叉潜力令我们看到， 概率统计极限理论在未来
8、重要的应用价值和越来越广阔的发展前景 . 回到今天的重点，文章的研究内容是概率统计方法应用在极限理论中，所以，在了解了概率的相关知识后，接下来很有必要对极限理论做一个简单的介绍，在极限理论中存在着很多种的极限计算方法，不过这些方法不全都是方便和有效的，有一些是比较复杂的和特殊的，比如就有一些形式的数列极限是不容易进行计算的，或者说这种计算往往是十分困难的 . 把概率统计理论的知识，包括它的一些基本性质，加入到极限问题的求取中有时候是可以很容易的进行计算的，尤其是对一些特殊形式的数列极限更 有研究的价值，因为它本身就是不容易用其它方法计算的 . 文章通过实际例子，阐述概率方法在极限计算中的应用
9、. 2 概率统计理论 在 极限求取中的应用 在通常情况下，我们遇到的数学极限问题都是非常简单的，然而，当遇到的是比较复杂的一些极限求取问题时，除了可以利用罗必达法则和等价无穷小关系等来求解之外，还可以运用概率统计的思想 . 这种解题的思路只适用于在实际中遇到的十分复杂的 3 极限求取问题，尤其是用一般方法很难解出的情况，此时，往往数学分析中的其他方法显得无能为力 . 下面仅从求取极限的角度来分析概率统计理论是如何应用在 极限中的，并用几个实例来进行详细说明 . 通过概率统计理论在解决数学极限求取问题的成功应用，沟通和建立了数学这个学科内部不同领域之间的有机联系与巧妙结合，进而让我们看出概率统计
10、方法在各个领域做到实际应用的可行性和广泛性 . 文章通过概率统计方法来进行难度很大的极限的计算，以期使这种计算变得更加的简便 . 2 1 利用大数定律 求 极限 大数定律讨论的是关于独立随机变量序列的平均结果的极限 ， 给出了取平均值的理论依据 . 定义 1 概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列定理 ,称为大数定律 . 定理 1（切比 雪夫大数定律） 设 12,n 是一列相互独 立同分布的随机变量，它们的方差有界，即存在常数 c0，使有 , 1, 2 ,iD c i ,则对 0， 1111l i m ( ) 1nniin iiPEnn . 定理 2（强大数定律） 设 nX是一
11、相互独 立的随机变量序列， 且 n21nDXn ， 则 1111l i m 0 1nnkkn kkP X E Xnn . 定理 3 (控制收敛定理 )若 nX为随机变量序列 ， nXY， Y 可积， 且n( lim ) 1nP X X ， 则nlimn EX EX . 涉及多重积分求取的问题，通常是比较困难的，如果再加上求极限的话，那么就会变得更困难 . 随机变量的引入，基于上述的强大数定律和控制收敛定理，可以使这种问题较易处理 . 例 1 求证 q p 0 时， 11 121001l i m 1q q qnnp p pn nx x x pd x d xx x x q . 证明 假设 nX是 独立同分布的随机变量序列 ， n( 1)Xn 服从 ( 0， 1) 上的 均匀分
