1、第 1 页 矩阵的初等变换及其应用 摘要 : 本文从矩阵的初等变换的概念出发 ,以具体实例为依据 ,总结了矩阵初等变换在线性代数中的一些应用 .可以用来求逆矩阵、求矩阵的秩、求向量组的 极大无关组、证明向量组等价 ,判断向量组的线性相关性、解矩阵方程和化二次型为标准形等 .另外 ,简单介绍了矩阵的初等变换在其他方面的应用 . 关键词 :矩阵；初等变换；应用 The elementary transformation of matrices and its applications Abstract: Starting with the concept of the elementary tra
2、nsformation of matrices summarizes , based on examples, applications of the elementary transformation in liner algebra are summarized. It can be used to find inverse matrices, rank of a matrix and enormous liner independence group of a class of vectors, and prove the equation of vector groups, judge
3、 the linear independence of a vector group, solve matrix equations and change a quadratic form from quadratic form to standard form and so on. In addition, applications of the elementary transformation of matrices in other aspects is simply introduced. Key words: matrix； elementary transformation； a
4、pplication 1 引言 在数学名词中 ,矩阵（英文名 Matrix）是用来表示统计数据等方面的各种有关联的数据 ,这个定义很好地解释了 Matrix 代码是制造世界的数学逻辑基础 .数学上 ,矩阵是指纵横排列的二 维数据 表格 ,最早来自于方程组的系数及常数所构成的 方阵 ,这一概念由 19 世纪英国数学家 凯利 首先提出 . 矩阵是数学中的一个重要内容 ,是线性代数核心 ,在自然科学、工程技术和经济领域都有广泛的应用 .矩阵的初等变换是矩阵 中 一种十分重要的运算 ,它在解线性方程组、求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都可起到非常重要的作用 .由于矩阵的初等变换计算简洁 ,便于应用 ,是研究
5、代数问题的一个重要工具 .如何巧妙地运用初等变换去解决数学中有些运算复杂的问题会起到事半功倍的效果 .本文将对矩阵的初等变换在线性代数中的若干应用进行了 简要 讨论 ,首先 给 出 了矩阵 初等变换的 定义 ,然后对其相关的各 方面的应用 ， 结合具体实例进行总结 。 这些实例 更体现了 矩阵的初等变换在数学中的重要地位 . 2 基本概念 定义 2.1 对矩阵施行下面的三种变换称为矩阵的初等行 (列 )变换 : 第 2 页 (1) 交换矩阵的两行 (列 )； (2) 以一个数 k 0 乘矩阵某一行 (列 )的所有元素； (3) 把矩阵的某一行 (列 )所有元素的 k 倍加到 另一行 (列 )对
6、应的元素上去 . 矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换 . 定义 2.2 如果 A 经过有限次初等变换变为矩阵 B,称矩阵 A 与 B 等价 ,记为 AB. 定义 2.3 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 . 三种初等变换对应着下面三种初等矩阵 : (1) 交换单位矩阵 E 中的第 i,j 两行 (列 ),得到初等矩阵 : 11011( , ) 111011iijjE第 行第 行 (2.1) (2) 以数 k 0 乘以单位矩阵 E 的第 i 行 (列 ),得到初等矩阵 : 1111i k jkE 第 行 (2.2) (3) 把单位矩阵 E 的第 i 行的 k 倍加到第 j 行上 ,得到初等矩阵 : 1111ii j kkjE第 行第 行 (2.3) 定义 2.4 在 m n 阶矩阵 A 中 ,任取 k 行和 k 列 (k m,k n),位于这些行列交叉处的 k2
