1、PDF外文：http:/ 中文 4670 字 出处： Journal of Computational Physics, 2008, 227(12): 6241-6248 一个求解相场晶体模型的高效算法 程摩维，詹姆斯沃伦 美国国家标准与技术研究所，冶金部和中心理论与计算材料科学，美国马里兰州盖瑟斯堡 20899 号 本文于 2006 年 12 月 6 日收到，修订版于 2007 年 12 月 20 日接受 ； 2008 年 3 月 7 日正式接受， 2008 年 3 月 20 日可在线获得 摘要 本文提出并讨
2、论了用于解决相场晶体（ PFC）模型演化方程的无条件稳定算法的发展。该算法允许 任意大的算法的时间步长。为对该算法的进行精度分析，我们在傅立叶空间确定一有效的时间步长。然后，用一组有代表性的数值结果与比较我们的计算结果对比，表明，对于 PFC 模型的研究，该算法是一种有效的方法，它有效地产生一个时间步长，比欧拉算法得出的的一组代表性材料参数大180 倍。由于 PFC 模型只是密度泛函理论的一个简单的例子，我们希望这种方法将有广泛的适用性并对材料模拟建模提供更多的帮助。 关键词 :无条件稳定；晶体相场模型 1 引言 非平衡动力学系统往往导致高度复杂的畴结构 (
3、微观结构 )。通常情况下 ,随着时间的推进 ,这 些结构的平均尺寸随着自由能的减少直接长大 :界面的消失导致均匀区域尺寸的增大。传统的非平衡动力学通常处理在空间上统一的平衡状态1-4，即平衡相的特点是适当密集的热力学变量达到平均值。用于保守系统的Cahn-Hilliard(CH)方程 5和不保守系统 Allen-Cahn (AC)方程 6 尽管很简单 ,却是该系统演化的典型实例模型。在聚合混合物 7、合金 8、 9、液晶 10、 11和宇宙学 12中已应用了这些模型。 最近引起人们极大兴趣的模型是晶体相场 (PFC)方程 13,14，这是我们常见的、 非保守的 SwiftHohen
4、berg (SH)方程 15的一种保守形式。这些系统不同于CH 和 AC 系统，其稳定阶段是周期性的。对于 SH 模型 ,序参数被用来获取流体中与 Rayleigh-Be甘松对流相关的非均质性。 PFC 模型是液固界面复杂密度泛函理论的一个简单版本 16,17，它从原子层面扑捉界面特征，因此包含系统结构方面高度详细的物理信息。在非平衡过程中，这样的模型可以描述多晶材料的许多基本性质。 控制这些非平衡现象的运动方程是非线性偏微分方程 ,一般不能用于随机初始条件的解析。因此 ,计算机模拟在我们理解 和描述非平衡现象时发挥着重要作用。众所周知，标准的欧拉积分由于固定的晶格间距 Dx18使
5、得时间步 Dt 不稳定。在 CH 和 AC 系统中 ,为维持一个界面轮廓 ,晶格间距必须小于界面 n, PFC 和SH 系统中 ,Dx 必须小于系统选择的周期。因此 ,欧拉法校正是低效的 ,在实践中用于开发大系统计算代价太高。相对于最简单的欧拉离散化方法，人们通过增加Dt 开发了各种计算算法 19。然而 ,这些方法仍然需要一个固定的时间步长 ,所以它们最终依然效率低下。最近 ,开发的无条件稳定算法 (22 - 25)用于 CH 和 AC 方程克服这个困难。这些算法 是一类稳定的算法，没有固定时间步数来约束方程的隐式和显式的条件。虽然在 CH 系统中这些算法随着时间的推移允许增加时间步 ,但在
6、AC 系统中只有一个有限的有效时间步是可用的。在此无条件稳定算法基础上，最近的一项研究 26分析证明，有人在 CH 方程中使用一加速算法， t=At2/3,相关准确度由 A 控制。 本文章，我们将这一无条件稳定算法运用于 PFC 和 SH 方程（第二部分）。在第三节中 ,我们通过数值算法的研究确立了这个方法的有效性 ,证明该算法求解PFC 方程是有效和准确的。最后 ,在第四节中 ,我们提供了一些结论。 2 无条件稳定算法用于 PFC 方程的求解 在本节中 ,我们开发了一类无条件稳定时间步进算法 (Dt 任意大时变得不稳定 )用于 PFC 和 SH 方程。尽管
7、本节的主要目的是研究 PFC 方程的无条件稳定算法 ,我们同时进行了对 SH 方程的讨论 ,因为此方法适用于这两个方程只有微不足道的差异。 2.1 无条件稳定的有限差异 PFC 和 SH 方程都始于自由能函数 ,描述了与各向同性相相关的周期相相变们能耗散 ,且可以表示为 算法中周期序参数 （ K， t）的波数 K0=1， r<0 表示淬火深度，在 PFC 方程中， r 正 比于温度差 TM T。 PFC 模型中的参数顺序 (密度 )是守恒的 ,因此运动方程是连续性方程的形式 , t =- *j ， j=-M （ F ） ,这里 M 是迁移
8、率，将 M 代入到时间尺度 ,我们获得的无量纲形式的 PFC 方程 对于 SH 方程，另一方面，序参数不守恒，且其演化方程假设为以下形式 方程（ 3）是 简单的耗散形式，其中 的变化率与自由能梯度成正比。 为了获得一个无条件稳定算法 ,我们现在采用以前开发 CH和 AC方程的方法24,25,在细节上去突破半隐式参数运动方程。首先线性运动方程分化为“向前”和“向后”两块 ,应用于方程（ 2）， 应用于方程（ 3） 参数 a1、 a2、 a3 控制分化程度，为了找到对这些参数的限制 ,产生一个无条件稳定算法 ,一个标准的冯诺依曼方
9、程式线性稳定性分析仅用于方程（ 4）和（ 5） .对于这两个方程， 程序非常相似 ,结果是相同的。下一部分内容我们将只显示用于 PFC 模型的细节部分。 2.2 物理和数值的不稳定性 正如 Vollmayr-Lee 和 Rutenberg24对 Ch方程的分析发现，从合理的物理扰动性考虑 PFC 方程将是线性不稳定的。具体来说 ,如果系统是一个过冷液体，各向同性相 与稳定的周期相（水晶） 14相比是亚稳定或不稳定的相，当 r+ 2< 0 时成立（这正是我们感兴趣的建模）。物理不稳定性使得我们的标准冯诺依曼稳定性分析变得复杂 ,当我们想要预测什么时候数值方法会出现不稳定性 ,且与热力学引起的物 理不稳定性无关。 我们可以通过一个线性稳定性分析研究物理不稳定运动方程（ 2）。使 ，其中 是一连续相， 是一个小的扰动，使 PFC 方程（ 2）线性化得到如下方程： 进行傅里叶转换为： 上述方程的物理不稳定条件为： 如上所述，在稳定相中此条件简化为 r+ 2< 0， K=1 . 现在我们可以继续分析数值稳定性和确定分割的约束参数。将 代入方程（ 4）使其线性化得到方程如下：
