1、 中文： http:/ 6300 字 出处： Proceedings of the 2005 conference on Genetic and evolutionary computation. ACM, 2005: 771-778 鲁棒优化设计的多目标遗传算法 摘要： 现实 世界中的多目标工程 的优化 设计问题往往 存在着不可控制的 参数变化。解决这些问题的目的是为了获得 良好的 解决方案 ,并就目的和可行性而言，这些解决方案应该尽量的好，与此同时对于参数的变化 是 不敏感 的 。这样的解决方法可以被称为 鲁棒最优解决方案 。为了调查研究最优方案的性能和
2、 鲁棒性 之间的权衡关系，我们提出了一个新的健全的多目标的遗传算法来优化两个目标：一个是适应 度 值，另外一个是 鲁棒性 指数， 在多目标和原始优化问题 的 可行性方面 ，适应度值是 一种评定设计的解决方案性能的 数值 ，而 鲁棒性 指数，基于非梯度为基础的参数灵敏度估计的方法，是一种在数量上评估设计方案 鲁棒 性的措施。这种多目标的遗传算法并不需要一个假设的无法控制的参数概率分布，也不利用这些参数的梯度信息，三个距离度量可用于获得系统的 鲁棒性 指标和有效的解决办法。为了能够更好的说明它的应用， 多目标遗传算法可以应用于来自 文献 中的两个研究深入 的工程设计的问题。 类别和学科
3、的描述 ： G.1.6 优化非线性程序 关键词：多目标遗传算法， 鲁棒性 设计优化， 鲁棒性 和性能的权衡 一 .引言 在现实世界中，有许多的工程优化的问题，由于其他不确定性，使得这些问题的参数有着无法控制的变化，这些变化可以显著的降低这优化的方案的性能，甚至还能改变所获得方案的可行性，这些变化的意义 在工程设计问题上尤为 重要 ，这往往在有界可行域或者在最优解的边界所处的可行的领域范围内。在文献中已经有很多的方法和方案来获得稳健的设计解决方法，这就是说， 这些 可行的设计方案 在他们的目标中很 适应 ， 并且这些方案的客观的表现或者可行性（或者
4、两者）对于参数的变化不敏感，一般而言，这些方法可以被分为两类：随机的方法和确定性的方法，随机的方法使用变量参数的概率信息，例如，他们的期望值和方差 ,以最大限度降低解决方案的灵敏度。 (如帕金森疾病学组 ，可 进行可行性鲁棒性 优化 也称为可靠性优化。 同时，金和森得霍夫提出 了 一个进化性的 的方案来处理在使用偏差信息时的性能和 鲁棒性 的权衡问题。 随机方法的主要缺点是对于无法控制的参数的概率分布是已知的或者是假设的，但是在现实的工程设计的问题中，事先获得这样的信息是很困难（甚至是不可 能的事情）。 另一方面，确定性方法使用参数的梯度信息获得了 鲁棒性 的最佳的设计方案， Gu
5、nawan 和 Azarm 的方法的目的在于获得最佳的解决方案来满足额外的 鲁棒 性 规定的约束，这往往由决策者规定 的 。 在这论文中，我们提出了一个新的确定性的方法来调查研究最佳解决方法的性能和 鲁棒性 的权衡关系，是基于多目标的遗传算法。我们追求的目标是同时优化： 1）最佳解决方法的 性能的 度量，比如，适应度的价值，这解释了原来的优化问题的目标函数和约束的价值。 2） 最佳解决方法的 鲁棒性 的度量， 鲁棒性 指数，最初是由 Gunawan 和 Azarm 提出来的， 它的推广使用是通过使用 两种额外的距离规范 。这种确定性的方法是用非梯度基础来对参
6、数敏感度进行估计， 对于参数， 这可以应用于 无法分辨的 目标函数或者约束函数的优化问题 ，任何的多目标遗传算法都可以在文献中应用到这种方法。 在 Gunawan 和 Azarm 的方法中，作者试图获得对参数变化不敏感最佳解决方案 ,换言之， 鲁棒性 的要求在他们的方法中被认为是一种约束，相反，我们把 鲁棒性 视为我们的目标之一，并且形成了一个新的双目标的 鲁棒性 优化问题（这个问题不管这个原始的问题有多少目的），来调查研究解决方案的 鲁棒性 和性能的关系 ，这个稳健的多目标遗传算法旨在同时最大化的提高性能和 鲁棒性 ，本论文的其他的组织文本如下：在第二部分，我们将展示最初的优化问
7、题并且解释一些定义和专业术语，基于 对于目标和可行性的描述，我们将在第三节展示出我们的新方法，在第四节我们将展示解决两个测试问题的应用，随后将讨论其结果，本文将以对于第五节的总结来结束。 二 .问题的定义 在这部分中，我们将正式的定义问题并且在这篇论文中解释一些文中有使用的定义和专有名词。 多目标问题的一般的公式如下所示： f 是目标函数（ 它的下标表示 变形的行向量 ） ， p 是无法控制的参数矢量，要注意的是，本身具有无法控制的设计变量可以包括在 x 和 p 中，大写和小写的 x 分别是 x 的上界限和下界限，这个问题有 j
8、的不平等约束，我们认为所有的约束可以代表不平等的函数，在这论文中，我们把 1 中所示的优化问题叫做原始问题。 在 M 的目标中存在着权衡和折中，通常这个原始的问题有更多的最优解决方案， 这些最优的解决方案组成起来叫做 Pareto 组，在 Miettnen 和 Deb 中都有讨论到。 在下面，我们将简单的描述在论文中所遇到的专业词汇。 标称参数数值 是参数向量值， p 用来优化 1 中的问题，参数变量记作 p。 标称 的 pareto解决方案是当 p=p0时候， 1中涉及到的优化问题的 pareto解决方案。 让 x0
9、成为我们 鲁棒性 中想要分析的设计解决方案， f=fm=fl是对于目标函数的 标称 数值，并且 g=gl=gx是对于约束函数来说的 标称 数值。 容忍 区域是 在 p 空间中的超矩形区域， 通过一组 p 值来得出的，这是关于决策者所想要的鲁棒最优方案不要太敏感的程度 ， 并且 有一系列 p 的数值来形成 p 空间，这个区域通常被 p 的最大值和 p 的最小值所限制着，这个关系式中，分别是 p 的最大上 限和最小下限，简单点说，这个 容忍 区域是被认为是对称的，因为这可以有多于一个的无法控制的参数，并且这些参数有着不同的区间值，我们通常校正我们的公差区域来形成一个超正方形。 &nbs
10、p;参数变化空间：一个 G 维的空间，在这个空间的轴是参数的变化 p 的数值。 可以接受的性能变化区域 APVR 是在点 x0， p0的周围的目标函数中形成的，这代表着最大的可接受的性能变化，并被 DM 所选择，看图表一的具体表示。 合适 度数值 fv 是一种结合目标函数和约束函数的程度上，度量解决方法性能的数值，这个 合适 度数值从多目标遗传算法中获得，比如 NSGA 可 以在我们的方法中作为 适应 度数值老用。 鲁棒性 数值是计算关于 p 在半径的外部超球状的规范的公差区域的一个在最差敏感区域的半径，在我们的方法中，这被用来作为我们 鲁棒性 的测量方法，
11、我们将在第三部分进一步的讨论它。 三 .鲁棒性 的多目标遗传算法 首先我们讨论了多目标的优化的方法，随后我们讨论了关于优化的可行性方面和两者相结合的方法。 考虑到可接受的性能变化区域（ APVR）的解决方法 x0，这有一套的在目标函数中的诸如 p 的变化量，因为 p 仍然在 f 的范围之内，一套的 p 在 p 的空间内形成了一个超区域，叫做敏感性区域（ SR），这个区域的范围如下可见： 图表一所示的是 APVR和他 关于解决方法 x0的两参数和双目标的环境中的相对应的敏感性区域，图上可见，这 APVR 的内部的点，外部的点和在边界上的点分别的对应着 SR 的内部的，外部的，和边界上的点。
