1、PDF外文：http:/ NO.8 .数学分析原理 .数学分析原理 - 208 - 中文 1400 字 幂级数的展开及其应用 梁慧 (杭州师范大学理学院数学与应用数学数学 053，浙江杭州 310000) 【 摘要 】 通过学习幂级数的一些基本知识，得出常用初等函数幂级数的展开式并且探讨函数幂级数在初等函数的应用。 【 关键词 】 幂级数；马克劳林公式；泰勒公式；初等函数 幂级数是数学分析中的 个非常重要的内容，而且幂级数的应用也非常广泛，可以借助幂级数的展开形式，很容易的解决一些较为复杂的问题，
2、本文旨在研究幂级数的展开形式及其在初等函数的应用。 一、 马克劳林 (Maclaurin)公式 幂级数实际上可以 视为多项式的延伸，因此在考虑函数 ()fx能否展开成幂级数时，可以从函数 ()fx与多项式的关系入手来解决这个问题为此，这里不加证明地给出如下的公式 泰勒 (Taylor)公式 如果函数 ()fx在 0xx 的某一邻域内，有直到 1n 阶的导数，则在这个邻域内有如下公式： ()2000 0 0 0 0( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 ! !n nnf x f xf x f
3、 x f x x x x x x x r xn ,(9 5 1) 其中 ( 1 ) 10()( ) ( )( 1) !n nn fr x x xn 称 ()nrx为拉格朗日型余项称 (9 5 1)式为泰勒公式 如果令 0 0x ，就得到 2( ) ( 0 ) ( )n nf x f x x x r x ， (9 5 2) 此时， 2009 NO.8 .数学分析原理 .数学分析原理 - 209 - ( 1 ) ( 1 )111 ( )
4、 ( )() ( 1) ! ( 1) !nnnnn f f xr x x x , (01) 称 (9 5 2)式为马克劳林公式 公式说明，任一函数 ()fx只要有直到 1n 阶导数，就可等于某个 n 次多项式与一个余项的和 我们称下列幂级数 ()2( 0 ) ( 0 )( ) ( 0 ) ( 0 )2 ! !n nfff x f f x x xn (9 5 3) 为马克劳林级数那么，它是否以 ()fx为和函数呢 ?若令马克劳林级数 (9 5 3)的前 1n项和为 1()nSx ，即 ()21 (
5、 0 ) ( 0 )( ) ( 0 ) ( 0 ) 2 ! !n nn ffS x f f x x xn ， 那么，级数 (9 5 3)收敛于函数 ()fx的条件为 1lim ( ) ( )nn s x f x 注意到马克劳林公式 (9 5 2)与马克劳林级数 (9 5 3)的关系，可知 1( ) ( ) ( )nnf x S x r x 于是，当 ( ) 0nrx 时，有 1( ) ( )nf x S x 反之亦然即若 1lim ( ) ( )nn s x f x 则必有
6、 ( ) 0nrx 这表明，马克劳林级数 (9 5 3)以 ()fx为和函数 马克劳林公式 (9 5 2)中的余项 ( ) 0nrx (当 n 时 ) 这样，我们就得到了函数 ()fx的幂级数展开式： 2009 NO.8 .数学分析原理 .数学分析原理 - 210 - ( ) ( )20( 0 ) ( 0 ) ( 0 )( ) ( 0 ) ( 0 )! 2 ! !nnnnnf f ff x x f f x x x (9 5 4) 它就是函数 ()fx的幂级数表达式，也就是说，函数的幂级数展开式是唯一的
7、事实上，假设函数 ()fx可以表示为幂级数 20 1 20() nnnf x a x a a x a x a x ， (9 5 5) 那么，根据幂级数在收敛域内可逐项求导 的性质，再令 0x (幂级数显然在 0x 点收敛 )，就容易得到 ()20 1 2 ( 0 ) ( 0 )( 0 ) , ( 0 ) , , , , ,2 ! !n nnffa f a f x a x a xn 将它们代入 (9 5 5)式，所得与 ()fx的马克劳林
8、展开式 (9 5 4)完全相同 综上所述，如果函数 ()fx在包含零的某区间内有任意阶导数，且在此区间内的马克劳林公式中的余项以零为极限 (当 n 时 )，那么，函数 ()fx就可展开成形如 (9 5 4)式的幂级数 幂级数 ()000 0 0( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 ! !n nf x f xf x f x x x x xn , 称为泰勒级数 二、 初等函数的幂级数展开式 利用马克劳林公式将函数 ()fx展开成幂级数的方法，称为直接展开法 例 1 试将函数 ()xf x e 展开成 x 的幂级数 解 因为 ()()nxf x e , ( 1, 2, 3, )n 所以 ()( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 1nf f f f ， 于是我们得到幂级数 2111 2 ! ! nx x xn ， (9 5 6)
