1、PDF外文：http:/ 1 卡尔曼滤波器介绍 摘要 在 1960 年， R.E.Kalman 发表了关于递归解决线性离散数据滤波器的著名论文，从那时间起，由于在数字计算的大部分提高， Kalman 滤波器已成为广泛研究和应用的学科，尤其是自动或辅助导航系统。 Kalman 滤波器是一套数学等式，它提供了一种有效的以最小均方误差来估计系统状态的计算 (递归的 )方法。它在以下几方面是非常强大的：它支持过去、现在、甚至将来估计，甚至在系统准确模型也未知的情况下。 本文的目的是提供一种对离散的 Kalman 滤波器的实用介绍。 这些介绍
2、包括对基本离散kalman 滤波器、起源和与之相关的简单 (有形 )的带有真实数字和结果的描述和讨论。 1、离散的 kalman 滤波器 在 1960 年， R.E.Kalman 发表了关于递归解决线性离散数据滤波器的著名论文，从那时间起，由于在数字计算的大部分提高， Kalman 滤波器已成为广泛研究和应用的学科，尤其是自动或辅助导航系统。关于 kalman 滤波器一般方法的友好介绍可以在 maybeck79的 Chapter.1 中找到，但是更完整部分的讨论能在 Sorenson70中发现，它还包括许多有趣的历史解释。在 Gelb74； Grewal93
3、； Maybeck79； Lewis86； Brown92； jacobs93中有更多参考。 估值过程 Kalman滤波器解决估计离散时间控制过程的状态 X Rn的一般性问题，定义线性随机差分方程 其中，测量值 Z Rm，定义为 随机变量 WK 和 VK 各自表示系统噪声和测量噪声，我们假定它们为相互独立的、白噪声且为正常概率分布 在实际中，系统噪声协方差矩阵 Q 和测量噪声协方差矩阵 R 可能随过程和测量时间而改变，无论怎样，我们在这里假定它们是常量。 在差分方程（ 1.1）中， n n阶矩阵 A与前一时刻（ K
4、1）和当前 时刻 K相关，这里缺少传递函数或系统噪声。注意的是，在实际中， A可能随各自时刻改变，但这里我们假定其为常量， n l阶矩阵 R与非强制性输入 U Rl和状态 x有关，在测量公式（ 1.2）中， m n阶矩阵H与状态及测量值 ZK有关，在实际中， H可能随各自过程或测量时刻而改变， 这里假定它们是常数。 2 滤波器计算初步 我们定义 XK Rn（注意负号）为 k时刻及系统 k时刻以前数据的 priori状态估计，定义XK Rn在得到测量值 ZK的 k时刻的 posteriori状态估计。我们这时定义前后两状态的估计误差为 这时 priori估
5、计协方差为 并且 posteriori估计协方误差为 在推导 kalman滤波器方程时，我们开始找到 Posteriori状态估计 XK与 priori估计 XK 和实际测量值 ZK与预测值 Hxk 之差的加权的线性组合的公式，如式（ 1.7） 。对于（ 1.7） 的一些调整在下面的“滤波器的概率初步”中给出。 式（ 1.7） 中（ ZK Hxk）的差叫测量协方差或叫余数，这余数反映的是预测值 Hxk与实际值 Zk的不合。一个零余数意味着这两个数完全一致。 式（ 1.7） 中 n m阶矩阵选择 Posteriori协方误差的最小增益或 混合
6、因子，这最小值可以获得：首先代式（ 1.7）到上面定义的 ek ，代入到（ 1.6）中，得到期望值，然后然后推导期望结果 K的迹，并设其为 0，最后解得 K。对于 更详细的看 Maybeck79； Brown92； Jacobs93。最小化式（ 1.6） 的结果 K的一种形式如下 从（ 1.8）中，我们可以看到测量均方误差 R趋于 0时，增益 K加权余数会越大，尤其 另一方面，当 Priori估计协方误差 PK 趋于 0时，增益 k加权余数越小，尤其 考虑加权 K的另一种方法：当测量协方误差 R趋于 0时，真实测量值 ZK越来越真实， 这时
7、，预测值 Hxk 越来越不真实，另一方面，当 Priori估计协方误差 PK 趋于 0时，真实测量值 Zk越来越不真实，预测值 Hxk 越来越不真实。 3 滤波器概率初步 式（ 1.7）的调整来源制约于在先前测量值 ZK（ Bayes准则）上 Priori估计 XK 的概率。此时，我们足够指出： Kalman滤波器保持了分布状态的一、二阶矩。 式（ 1.7）的 Posteriori状态估计反映了分布状态的均值（一阶矩） 这是在条件（ 1.3）和（ 1.4）同时满足的自然分布。 Posteriori估计协方误差（ 1.6）反映分布状态的 变化（
8、二阶非中心矩），换之， 对于 Kalman滤波器的更详细的概率初步，可以参考 Maybeck79； Brown92； Jacobs93。 离散 Kalman滤波器算法 我们从大体概述了一种包含离散 Kalman滤波器形式的高级算法来开始这部分（看以前脚注）。在描述完它的高级目的之后，我们将在滤波器的本文集中到特定的公式和应用。 Kalman滤波器是用反馈控制的形式来估计过程：在当时滤波器估计过程状态，然后在噪声测量值时获得反馈。比如， Kalman滤波器的等式有两组： time update等式和 measurement update等式。这
9、time update等式是当前状态之前的过程和获得下一个时刻的 Priori状态的估计协方误差。这 measurement update等式反映的是反馈。如伴有新测量值的 Priori状态估计和获得提高的 Posteriori估计的组合。 当 measurement update被作为修正方程时， time update也被作为原始等式。确实，最后的估计算法与解决数字问题的预测修正算法相似，如下 Figure 1-1所示 Figure 1-1 不间断离散 Kalman滤波器循环， Time update适时计算当前状态估计。 Measurement update在那时通过真实测量值来调整设计估计。
